Mitä ovat Maxwellin yhtälöt ja miten ne määritellään?

Enkeli Zamora Ramirez | heinäkuuta 2022
Fysiikan tutkinto

Ennen näitä yhtälöitä sanottiin, että sähköiset ja magneettiset voimat olivat "etäisyyden voimia", ei tiedetty fysikaalisia keinoja, joiden avulla tällainen vuorovaikutus tapahtuisi. Monien vuosien tutkimuksen jälkeen sähköä Y magnetismiMichael Faraday ymmärsi, että varausten ja sähkövirtojen välisessä tilassa pitäisi olla jotain fyysistä, joka sallisi niiden olla vuorovaikutuksessa toistensa kanssa ja ilmentää kaikkia Tunnettuja sähköisiä ja magneettisia ilmiöitä hän kutsui aluksi "voimalinjoiksi", mikä johti ajatukseen sähkömagneettisen kentän olemassaolosta.

Faradayn idean pohjalta James Clerk Maxwell kehittää kenttäteorian, jota edustaa neljä osittaista differentiaaliyhtälöä. Maxwell kutsui tätä "sähkömagneettiseksi teoriaksi" ja oli ensimmäinen, joka sisällytti tämän tyyppisen matemaattisen kielen fysikaaliseen teoriaan. Maxwellin yhtälöt differentiaalimuodossaan tyhjiölle (eli dielektristen ja/tai polarisoituvien materiaalien puuttuessa) ovat seuraavat:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Maxwellin yhtälöt tyhjiölle sen differentiaalimuodossa

Missä \(\vec{E}~\)on sähkökenttä, \(\vec{B}~\)on magneettikenttä, \(\rho ~\)on tiheys sähkövaraus, \(\vec{J}~~\)on a: een liittyvä vektori sähkövirta, \({{\epsilon }_{0}}~\)on tyhjiön sähköinen permittiivisyys ja \({{\mu }_{0}}~~\)on tyhjön magneettinen permeabiliteetti. Jokainen näistä yhtälöistä vastaa a laki sähkömagnetismista ja sillä on merkitys. Selitän jokaista niistä lyhyesti alla.

Gaussin laki

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gaussin laki sähkökenttään

Tämä ensimmäinen yhtälö kertoo meille, että sähkövaraukset ovat sähkökentän lähteitä, tämä sähkökenttä "poikkeaa" suoraan varauksista. Lisäksi sähkökentän suunnan määrää sen tuottavan sähkövarauksen etumerkki, ja kuinka lähellä kenttäviivat ovat, kertoo itse kentän suuruuden. Alla oleva kuva tiivistää jonkin verran juuri mainitut.

Kuva 1. Studioworkistä. - Kaavio kahden pistevarauksen, yhden positiivisen ja toisen negatiivisen, synnyttämistä sähkökentistä.

Tämä laki on nimensä velkaa matemaatikko Johann Carl Friedrich Gaussille, joka muotoili sen divergenttilauseensa perusteella.

Gaussin laki magneettikentästä

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gaussin laki magneettikentästä

Tällä lailla ei ole erityistä nimeä, mutta sitä kutsutaan sellaiseksi, koska se on samankaltainen edellisen yhtälön kanssa. Tämän ilmaisun merkitys on, että ei ole "magneettista varausta", joka olisi analoginen "sähkövarauksen" kanssa, eli ei ole magneettisia monopoleja, jotka ovat magneettikentän lähde. Tästä syystä, jos me rikomme magneetin kahtia, meillä on edelleen kaksi samanlaista magneettia, molemmilla pohjoisnapainen ja etelänapa.

Faradayn laki

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faradayn induktiolaki

Tämä on kuuluisa induktiolaki, jonka Faraday muotoili, kun hän vuonna 1831 havaitsi, että muuttuvat magneettikentät pystyivät indusoimaan sähkövirtoja. Tämä yhtälö tarkoittaa, että ajan myötä muuttuva magneettikenttä pystyy indusoimaan sen ympärillä sähkökenttä, joka puolestaan ​​voi saada sähkövaraukset liikkumaan ja muodostamaan a virta. Vaikka tämä saattaa aluksi kuulostaa hyvin abstraktilta, Faradayn laki on moottoreiden, sähkökitaroiden ja induktiokeittotasojen toiminnan takana.

Ampère-Maxwellin laki

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Ensimmäinen asia, jonka tämä yhtälö kertoo, on, että sähkövirrat synnyttävät magneettikenttiä virran suunnan ympäri ja että syntyneen magneettikentän suuruus riippuu tämän suuruudesta, tämä oli se, mitä Oersted havaitsi ja että myöhemmin Ampère pystyi muotoilla. Tämän yhtälön takana on kuitenkin jotain outoa, ja se on toinen termi sivulla laki Maxwell esitteli yhtälön, koska tämä lauseke oli alun perin epäjohdonmukainen muiden kanssa erityisesti se johti sähkövarauksen säilymislain rikkomiseen. Tämän välttämiseksi Maxwell yksinkertaisesti otti käyttöön tämän toisen termin, jotta hänen koko teoriansa olisi johdonmukainen, tämän termin sai nimen "siirtymävirta", eikä siihen aikaan ollut kokeellista näyttöä sen tueksi. perääntyy

Kuva 2. De Rumruay.- Kaapelin läpi kulkeva sähkövirta synnyttää sen ympärille magneettikentän Ampèren lain mukaan.

Siirtymävirran merkitys on samalla tavalla kuin magneettikenttä muuttuja indusoi sähkökentän, ajan myötä muuttuva sähkökenttä pystyy muodostamaan kentän magneettinen. Ensimmäinen kokeellinen vahvistus syrjäytysvirran olemassaolosta oli Heinrich Hertzin sähkömagneettiset aallot vuonna 1887, yli 20 vuotta teorian julkaisemisen jälkeen. Maxwell. Ensimmäisen suoran siirtymävirran mittauksen teki kuitenkin M. R. Van Cauwenberghe vuonna 1929.

valo on sähkömagneettinen aalto

Yksi ensimmäisistä Maxwellin yhtälöiden hämmästyttävistä ennusteista on olemassaolo sähkömagneettisia aaltoja, mutta ei vain sitä, ne myös paljastivat, että valon täytyi olla tämän aalto Tyyppi. Nähdäksemme tämän jonkin verran leikitään Maxwellin yhtälöillä, mutta ennen sitä tässä on minkä tahansa aaltoyhtälön muoto:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Aaltoyhtälön yleinen muoto kolmessa ulottuvuudessa.

Missä \({{\nabla }^{2}}\) on Laplacian operaattori, \(u\) on aaltofunktio ja \(v\) on aallon nopeus. Työskentelemme myös Maxwellin yhtälöiden kanssa tyhjässä tilassa, eli sähkövarausten ja sähkövirtojen puuttuessa vain sähkö- ja magneettikentät:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Ja käytämme myös seuraavaa identiteetti vektorilaskenta:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Jos käytämme tätä identiteettiä sähkö- ja magneettikentille käyttämällä Maxwellin yhtälöitä tyhjälle tilalle, saamme seuraavat tulokset:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\osittainen {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\osittais {{t}^{2}}}\)

Huomaa näiden yhtälöiden samankaltaisuus yllä olevan aaltoyhtälön kanssa johtopäätös, sähkö- ja magneettikentät voivat käyttäytyä kuin aallot (sähkömagneettiset aallot). Jos määritämme näiden aaltojen nopeudeksi \(c\) ja vertaamme näitä yhtälöitä yllä olevaan aaltoyhtälöön, voimme sanoa, että nopeus on:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) ja \({{\epsilon }_{0}}\) ovat tyhjiön magneettinen permeabiliteetti ja sähköinen permittiivisyys, ja molemmat ovat vakioita universaaleja, joiden arvot ovat \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) ja \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), korvaamalla nämä arvot, saamme, että \(c\) arvo on \(c=299 792 458\frac{m}{s}\noin 300 000 ~ km/s\), mikä on täsmälleen valoa.

Tällä pienellä analyysillä voimme tehdä kolme erittäin tärkeää johtopäätöstä:

1) Sähkö- ja magneettikentät voivat käyttäytyä aaltoina, eli on sähkömagneettisia aaltoja, jotka pystyvät myös etenemään tyhjiön läpi.

2) Valo on sähkömagneettinen aalto, jonka nopeus riippuu magneettisesta permeabiliteetista ja permittiivisyydestä Väliaineesta, jonka läpi se etenee, tyhjässä tilassa valon nopeus on noin 300 000 km/s.

3) Koska magneettinen permeabiliteetti ja sähköinen permittiivisyys ovat universaaleja vakioita, niin valonnopeus on myös universaali vakio, mutta tämä tarkoittaa myös sitä, että sen arvo ei riipu / puitteet josta se mitataan.

Tämä viimeinen lausunto oli tuolloin erittäin kiistanalainen Miten on mahdollista, että nopeus valo on sama riippumatta sitä mittaavan henkilön liikkeestä ja valonlähteen liikkeestä. valoa? Jonkin nopeuden täytyy olla suhteellista, eikö niin? No, tämä oli aikakauden fysiikan vedenjakaja, ja tämä yksinkertainen mutta syvällinen tosiasia johti Albert Einsteinin erityissuhteellisuusteorian kehittämiseen vuonna 1905.