Quadratic Function Definition

Toisen muuttujan neliöfunktio, jonka muoto on ilmaistu.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Kun muuttuja on \(x\), \(a, b\) ja c ovat todellisia vakioita, joita kutsutaan neliöfunktion kertoimiksi, joissa \(a \ne 0.\)

Taulukossa esitetään yleisiä esimerkkejä toisen asteen funktioista ja niiden mallinnettavista tilanteista, jotta voidaan myöhemmin havainnollistaa niiden suoraa käyttöä todellisista ongelmista.

Neliöllinen toiminto	Tilannetta voit mallintaa
\(f\left( x \right) = {x^2}\)	Muuttuja \(y\) on neliön pinta-ala, jonka sivun mitat ovat \(x\).
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	Muuttuja \(y\) on ympyrän pinta-ala, jonka säde on \(x\).
\(f\vasen( x \oikea) = 100 – 4,9{x^2}\)	Muuttuja \(y\) on 100:n korkeudella pudotetun objektin korkeus ja \(x\) on kulunut aika.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Muuttuja \(y\) on 45°:n kulmassa 60 m/s nopeudella heitetyn kanuunan pallon korkeus ja \(x\) on kulunut aika.

Yleinen kaava ja neliöfunktio

Jos \(x = \alpha \) toisen asteen funktio on nolla, niin lukua \(\alpha \) kutsutaan toisen asteen funktion juureksi, kyllä, \(\alpha \) on toisen asteen yhtälön ratkaisu

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Yleinen kaava toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi meillä on, että toisen asteen funktion juuret ovat:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Yllä olevasta saadaan seuraava suhde neliöfunktion juurien ja kertoimien välillä:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Merkittävien tuotteiden avulla vahvistetaan seuraava identiteetti:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Samalla tavalla kuin yleisessä kaavassa vahvistetaan, että neliöfunktio voidaan ilmaista muodossa:

\(f\vasen( x \oikea) = a{\vasen( {x – h} \oikea)^2} + k\)

\(h = – \frac{b}{{2a}}\) ja \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Ratkaisemalla yhtälön:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Hankitaan:

\(\vasen| {x – h} \oikea| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Edellä olevasta voidaan päätellä, että \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), vain jos vakiot \(k\) ja \(a\) ovat päinvastaisia ​​merkkejä, tällä toisen asteen funktiolla on todelliset juuret, jotka ovat: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Jos vakioilla \(k\) ja \(a\) on sama etumerkki, neliöfunktiolla ei ole todellisia juuria.

Kun \(k = 0,\;\;\)neliöfunktiolla on vain yksi juuri.

Esimerkkejä sovelletaan tosielämään

Sovellusesimerkki 1: Taloustiede

Koulu haluaa järjestää jalkapalloturnauksen, jossa jokainen joukkue pelaa toisiaan vastaan ​​vain kerran. Välimiesmenettelyn kustannusten budjetti on 15 600 dollaria, jos välimiesmenettelyn hinta on 200 dollaria per peli. Kuinka monta joukkuetta voi ilmoittautua turnaukseen?

Ongelman selvitys: Meidän on löydettävä funktio, joka laskee osumien määrän, kun meillä on \(n\) joukkueet laskeaksemme ne, teemme oletuksen, että joukkue 1 pelaa ensin kaikkien muiden kanssa, eli \(n – 1\) Ottelut. Joukkue 2 pelaisi nyt kaikkien muiden kanssa, eli \(n – 2\), koska he ovat jo pelanneet joukkueen 1 kanssa. Joukkue 3 on jo pelannut joukkueiden 1 ja 2 kanssa, joten heidän pitäisi pelata n-3 joukkueiden kanssa.

Yllä olevalla perustelulla päädymme seuraavaan:

\(f\vasen(n \oikea) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Kustannusfunktio on:

\(C\vasen( n \oikea) = 200f\vasen(n \oikea) = 100n\vasen( {n – 1} \oikea)\)

Kun budjetti on 15 600 dollaria, meillä on yhtälö:

\(100n\vasen( {n – 1} \oikea) = 15600\)

yhtälön ratkaisu

\(100n\vasen( {n – 1} \oikea) = 15600\) Lähtötilanne
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Jaa yhtälön kumpikin puoli 100:lla
\({n^2} – n – 156 = \) Lisää \( – 156\) yhtälön kummallekin puolelle
\(\vasen( {n – 13} \oikea)\vasen( {n + 12} \oikea) = 0\) Meillä on \(\vasen( { – 13} \oikea)\vasen( {12} \oikea ) = – 156\) ja \( – 13 + 12 = – 1\)
Se huomioitiin.
Yhtälön \(n = – 12,\;13\) ratkaisut
Vastaus: Budjetti riittää 13 joukkueen ilmoittautumiseen.

Sovellusesimerkki 2: Taloustiede

Eräs pääkaupunkiseudun linja-autoyhtiö on havainnut, että jokainen sen linja-auto kuljettaa kahdeksan tunnin vuorokaudessa keskimäärin tuhat matkustajaa. Jotta voit antaa työntekijöillesi korotuksen, sinun on korotettava hintaasi, joka on tällä hetkellä 5 dollaria. Taloustieteilijä laskee, että jokaista pesoa kohden, jonka hinta nousee, jokainen kuorma-auto menettää keskimäärin 40 matkustajaa päivässä. Yhtiö on laskenut, että palkankorotuksen kattamiseksi sen on saatava joka päivä ylimääräinen 760 dollaria kuorma-autoa kohden. Kuinka paljon hinnan tulee nousta?

Ongelman kuvaus: Olkoon \(x\) se pesomäärä, jolla lippu nousee, jolle \(5 + x\) on lipun uusi hinta. Samalla lisäyksellä jokainen kuorma-auto kuljettaa keskimäärin \(1000 – 40x\) matkustajaa päivässä.

Lopuksi tulot kuorma-autoa kohti ovat:

\(I\vasen( x \oikea) = \vasen( {5 + x} \oikea)\vasen( {1000 – 40x} \oikea) = – 40\vasen( {x + 5} \oikea)\vasen( {x – 25} \oikea)\)

Palkankorotuksen kattamiseksi jokaisen bussin tulee kerätä: \(1000\vasen( 5 \oikea) + 760 = 5760\)

Lopuksi meillä on yhtälö:

\( – 40\vasen( {x + 5} \oikea)\vasen( {x – 25} \oikea) = 5760\)

yhtälön ratkaisu
\( – 40\vasen( {x + 5} \oikea)\vasen( {x – 25} \oikea) = 5760\) Lähtötilanne
\(\vasen( {x + 5} \oikea)\vasen( {x – 25} \oikea) = – 144\) Jaa luvulla \( – 40\) yhtälön kumpikin puoli
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Merkittävä tuote kehitettiin
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 lisättiin jokaiseen
\(\vasen( {n – 19} \oikea)\vasen( {n – 1} \oikea) = 0\) Meillä on \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ oikea) = 19\) ja \( – 19 – 1 = – 20\)
huomioitu
Yhtälön \(n = 1,19\) ratkaisut
Vastaus: Lipun hinta voi nousta $1 tai $19 pesoa.

Sovellusesimerkki 3: Taloustiede

Leipäkauppa myy keskimäärin 1 200 sämpylää viikossa 6 dollarilla. Eräänä päivänä hän päätti nostaa hinnan 9 dollariin kappaleelta; nyt hänen myyntinsä on laskenut: hän myy keskimäärin vain 750 rullaa viikossa. Mikä pitäisi olla kunkin sämpylän hinta, jotta myymälän tuotto olisi mahdollisimman suuri? Oletetaan, että kysynnän ja hinnan välillä on lineaarinen suhde.

Ongelman selvitys: Olettaen, että kysynnän D ja hinnan \(x,\) välillä on lineaarinen suhde, niin

\(D = mx + b\)

Kun \(x = 6;D = 1200;\;\), joka luo yhtälön:

\(1 200 = 6 m + b\)

Kun \(x = 9;D = 750;\;\) lo ja yhtälö saadaan:

\(750 = 9 m + b\)

Kun yhtälöjärjestelmä ratkaistaan, kysynnän ja hinnan välinen suhde on:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\vasen( {x – 14} \oikea)\)

Tulot ovat yhtä suuret

\(I\vasen( x \oikea) = Dx = – 150x\vasen( {x – 14} \oikea)\)

Ratkaisu

Paraabelin tulokaavio, joka avautuu alaspäin ja jonka maksimiarvo saavutetaan kärjessä joka voidaan löytää laskemalla keskiarvo neliöfunktion juurista, joka mallintaa tulo. Juuret ovat \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\vasen( h \oikea) = – 150\vasen( 7 \oikea)\vasen( {7 – 14} \oikea) = 7350\)

Vastaus

Suurin tulo on 7 350 dollaria ja se saavutetaan 7 dollarin hinnalla; myydään keskimäärin 1050 rullaa viikossa.

Sovellusesimerkki 4: Taloustiede

\(n\) tuolin valmistuskustannukset yhdessä päivässä voidaan laskea neliöfunktiolla:

\(C\vasen(n \oikea) = {n^2} – 200n + 13000\)

Määritä vähimmäiskustannukset, jotka voidaan saavuttaa.

Ongelmailmoitus

Kuvaaja \(C\left( n \right)\) on paraabeli, joka avautuu ylöspäin ja saavuttaa minimipisteensä kohdassa \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ vasen( { – 200} \oikea)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\vasen( {100} \oikea) = {\vasen( {100} \oikea)^2} – 200\vasen( {100} \oikea) + 13000 = 3000\)

Vastaus

Alhaisin mahdollinen hinta on 3000 dollaria ja se saavutetaan valmistamalla 100 tuolia.

Sovellusesimerkki 5: Geometria

Rombin pinta-ala on 21 cm2; Jos sen diagonaalien pituuksien summa on 17 cm, mikä on rombin kunkin lävistäjän pituus?

Ongelman selvitys: Rombin pinta-ala lasketaan seuraavasti:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Sen diagonaalien pituuksilla \(D\) ja \(d\) tunnetaan myös:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Korvaamalla saat:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Lopulta saamme yhtälön

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Ratkaisu
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Lähtötilanne
\(\vasen( {17 – d} \oikea) d = 42\) Kerro luvulla \( – 40\) yhtälön kumpikin puoli
\({d^2} – 17p + 42 = 0\) Tuote on kehitetty.
\(\vasen( {d – 14} \oikea)\vasen( {d – 3} \oikea) = 0\) Meillä on \(\vasen( { – 14} \oikea)\vasen( { – 3} \ oikea) = 42\) ja \( – 14 – 3 = – 17\)
huomioitu
Yhtälön \(d = 3,14\) ratkaisut
Vastaus:

Rombin diagonaalit ovat 14 cm ja 3 cm.

Sovellusesimerkki 6: Geometria

Halutaan rakentaa suorakaiteen muotoinen 140 m2 kanatalo, jossa hyödynnetään melko pitkää aitaa, joka muodostaa kanankopan pohjan. Kolme muuta sivua rakennetaan 34 lineaarimetrin teräsverkolla, kuinka paljon kanankopan pituuden ja leveyden tulisi olla, jotta koko verkkoa voidaan käyttää?

Mikä on suurin pinta-ala, joka voidaan aidata samoissa olosuhteissa samalla verkolla?

Ongelman toteamus: Kaavion mukaan pinta-ala on yhtä suuri:

\(A\vasen( x \oikea) = x\vasen( {34 – 2x} \oikea) = 2x\vasen( {17 – x} \oikea)\)

Missä \(x\) on aitaan nähden kohtisuorassa olevan sivun pituus.

Tietääksesi suorakulmion mitat niin, että sen pinta-ala on 140 m2, riittää yhtälön ratkaiseminen

\(2x\vasen( {17 – x} \oikea) = 140\)

Koska \(A\left( x \right)\) kuvaaja on alaspäin avautuva paraabeli laskeakseen alueen maksimiarvon, riittää, että lasketaan paraabelin kärki.

Vastaukset
Suorakulmion mitat, pinta-ala 140 m2
Sivun pituus kohtisuorassa aitaan nähden

\(x\) Aidan suuntaisen sivun pituus

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Huippupisteen ensimmäinen koordinaatti on \(h = \frac{{17}}{2}\) ja

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

Pinta-ala on maksimi, kun kohtisuoran sivun mitta on \(\frac{{17}}{2}\;\)m ja yhdensuuntaisen sivun pituus 17m, sen mitat ovat 17m, saavutetun enimmäisalueen arvo on \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Neliöfunktion kuvaaja

Geometrialta katsottuna juuret ovat pisteitä, joissa funktion kuvaaja leikkaa \(x\)-akselin.

Ilmaisusta

\(f\vasen( x \oikea) = a{\vasen( {x – h} \oikea)^2} + k,\)

Määritämme neliöfunktion kuvaajan yleisen muodon.

Ensimmäinen tapaus \(a > 0\) ja \(k > 0\)

\(f\vasen( x \oikea) = a{\vasen( {x – h} \oikea)^2} + k\)

\(x\)	\(f\vasen( x \oikea)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h - 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(t\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(t + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(t + 4\)	\(16a + k\)

Tässä tapauksessa kaavio tyydyttää:

Symmetrinen: symmetria-akselilla \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Eli \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \oikea)\)

Se on \(x\)-akselin yläpuolella eikä leikkaa sitä. Eli \(f\left( x \right) > 0\) ei ole todellisia juuria.

Kaavion alin piste on pisteessä \(\left( {h, k} \right)\). Eli \(f\left( x \right) \ge f\left(h \right) = k\)

Toinen tapaus \(a < 0\) ja \(k < 0\)

\(f\vasen( x \oikea) = a{\vasen( {x – h} \oikea)^2} + k\)

\(x\)	\(f\vasen( x \oikea)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h - 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(t\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(t + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(t + 4\)	\(16a + k\)

Tässä tapauksessa kaavio tyydyttää:

Symmetrinen: symmetria-akselilla \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Eli \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \oikea)\)

Se on \(x\)-akselin alapuolella eikä leikkaa sitä. Eli \(f\left( x \right) < 0\) ei ole todellisia juuria. Kaavion korkein kohta on pisteessä \(\left( {h, k} \right)\). Tämä on \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Kolmas tapaus \(a > 0\) ja \(k \le 0\).

Tämä tapaus on samanlainen kuin ensimmäinen tapaus, ero on siinä, että nyt meillä on yksi todellinen juuri (kun \(k = 0\) ) tai kaksi todellista juuria.

Tässä tapauksessa kaavio tyydyttää:

Symmetrinen: symmetria-akselilla \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Eli \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \oikea)\)

Se leikkaa \(x\)-akselin, eli sillä on vähintään yksi todellinen juuri.

Kaavion alin piste on pisteessä \(\left( {h, k} \right)\). Eli \(f\left( x \right) \ge f\left(h \right) = k\)

Neljäs tapaus \(a < 0\) ja \(k \ge 0\). Tämä tapaus on samanlainen kuin toinen tapaus, ero on siinä, että nyt meillä on yksi todellinen juuri (kun \(k = 0\) ) tai kaksi todellista juuria. Tässä tapauksessa kaavio tyydyttää:

Symmetrinen: symmetria-akselilla \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Eli \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \oikea)\)

Kaavion alin piste on pisteessä \(\left( {h, k} \right)\). Eli \(f\left( x \right) \le f\left(h \right) = k\)

Neliöfunktion kuvaajaa kutsutaan paraabeliksi ja sen korostettavat elementit ovat symmetria-akseli, pisteet, joissa se leikkaa \(x\)-akselille ja kärkeen, joka on funktion kaavion piste, jossa se saavuttaa alimman tai korkeimman pisteensä riippuen tapaus.

Suoritetun analyysin perusteella voimme todeta:

Neliöfunktioon \(f\left(x \right) = a{x^2} + bx + c\) liittyvän paraabelin kärkipiste on kohdassa \(\left( {h, k} \right)\), missä :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

esimerkkejä

Neliöfunktio \(y = {x^2}\)	tärkeitä elementtejä
Paraabelin kärkipiste	\(\vasen( {0,0} \oikea)\)
Paraabelin symmetria-akseli	\(x = 0\)
Leikkauspisteet \(x\)-akselilla	\(\vasen( {0,0} \oikea)\)

Neliöfunktio \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	tärkeitä elementtejä
Paraabelin kärkipiste	\(\vasen( {2,0} \oikea)\)
Paraabelin symmetria-akseli	\(x = 2\)
Leikkauspisteet \(x\)-akselilla	\(\vasen( {2,0} \oikea)\)

Neliöfunktio \(y = {\vasen( {x + 2} \oikea)^2} – 4\)	tärkeitä elementtejä
Paraabelin kärkipiste	\(\vasen( { – 2, – 4} \oikea)\)
Paraabelin symmetria-akseli	\(x = – 2\)
Leikkauspisteet \(x\)-akselilla	\(\vasen( { – 4,0} \oikea);\vasen( {0,0} \oikea)\)

Neliöfunktio \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	tärkeitä elementtejä
Paraabelin kärkipiste	\(\vasen( {9,8} \oikea)\)
Paraabelin symmetria-akseli	\(x = 9\)
Leikkauspisteet \(x\)-akselilla	\(\vasen( {5,0} \oikea);\vasen( {13,0} \oikea)\)

Neliöfunktio \(y = {x^2} + 1\)	tärkeitä elementtejä
Paraabelin kärkipiste	\(\vasen( {0,1} \oikea)\)
Paraabelin symmetria-akseli	\(x = 0\)
Leikkauspisteet \(x\)-akselilla	Ei ole

Neliöfunktio \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	tärkeitä elementtejä
Paraabelin kärkipiste	\(\vasen( {2, – 1} \oikea)\)
Paraabelin symmetria-akseli	\(x = 2\)
Leikkauspisteet \(x\)-akselilla	Ei ole

Jos toisen asteen funktion todelliset juuret ovat olemassa, voimme piirtää niistä siihen liittyvän paraabelin. Oletetaan, että \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Tätä varten on otettava huomioon seuraavat asiat:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Kuten

\(k = f\vasen( h \oikea)\)

\(k = f\vasen( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \oikea)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

esimerkkejä

Piirrä asteen funktion kaavio \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Ratkaisu

Juuret ovat \(\alpha = 3\;\) ja \(\beta = – 6\); sitten \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\vasen( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Joten voimme rakentaa seuraavan taulukon

\(f\vasen( x \oikea) = 2\vasen( {x – 3} \oikea)\vasen( {x + 6} \oikea)\)	tärkeitä elementtejä
Paraabelin kärkipiste	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Paraabelin symmetria-akseli	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Leikkauspisteet \(x\)-akselilla	\(\vasen( { – 6,0} \oikea)\;,\;\vasen( {3,0} \oikea)\)

Voit piirtää funktion kaavion seuraavasti:

\(f\vasen( x \oikea) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Käytämme samoja ideoita, joita olemme jo käyttäneet; Tätä varten määritämme ensin kärkipisteen.

Tässä tapauksessa \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Koska \(a > 0\), paraabeli ”avautuu ja \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \oikea)}}} \oikea) = 3.\) Seuraavaksi lasketaan \(k:\)

\(k = f\vasen( h \oikea) = f\vasen( 3 \oikea) = 3{\vasen(3 \oikea)^2} – 18\vasen(3 \oikea) + 4 = – 23\)

Paraabelin kärki on kohdassa \(\left( {3, – 23} \right)\) ja koska se avautuu ylöspäin, paraabeli leikkaa \(x\;\)-akselin ja sen symmetria-akseli on \ (x = 3\).

Tarkastellaan nyt neliöfunktiota

\(f\vasen( x \oikea) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

Tässä tapauksessa \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Koska \(a < 0\), paraabeli "aukeutuu" alaspäin ja \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \oikea)\vasen( { - 5} \oikea)}}} \oikea) = 1.\) A Seuraavaksi lasketaan \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ oikealle) - 9 = - 4\) The vertex paraabeli on kohdassa \(\left( {1, - 4} \right)\) ja koska se avautuu alaspäin, paraabeli ei leikkaa \(x\;\)-akselia ja sen symmetria-akseli on \(x = 1.\)