Miten Thaleen lause määritellään?

Thalesin lauseesta, jossa on useita yhdensuuntaisia ​​suoria, suoran \(T\) sanotaan olevan poikittainen yhdensuuntaisiin suoriin nähden, jos se leikkaa jokaisen yhdensuuntaisen suoran.

Kuvassa 1 suorat \({T_1}\) ja \({T_2}\) ovat poikittain rinnakkaisten viivojen \({L_1}\) ja \({L_2}.\) kanssa.

Thalesin lause (heikko versio)
Jos useat rinnakkaiset määrittävät yhteneväisiä segmenttejä (jotka mittaavat samaa) toisessa kahdesta poikittaisesta suorastaan, ne määrittävät myös yhtenevät segmentit muissa poikittaissuunnissa.

Kuvassa 2 mustat viivat ovat yhdensuuntaisia ​​ja sinun on:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Voimme varmistaa seuraavat asiat:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Sanotaan, että Miletoksen viisas Thales mittasi Cheopsin pyramidin korkeuden, ja hän käytti tähän varjoja ja kolmion samankaltaisuusominaisuuksia. Thalesin lause on perustavanlaatuinen kolmioiden samankaltaisuuden käsitteen kehittämiselle.

Suhteet ja suhteiden ominaisuudet

Yksi suhde on kahden luvun osamäärä, jakaja on muu kuin nolla; tarkoittaen:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{with\;}}b \ne 0\)

Osuus on kahden suhteen yhtäläisyys, eli:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) kutsutaan myös suhteellisuusvakioksi.

Mittasuhteiden ominaisuudet

Jos \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), niin \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

esimerkkejä

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Segmenttien \(\overline {AB} \) ja \(\overline {CD} \) parin sanotaan olevan verrannollisia segmentteihin \(\overline {EF} \) ja \(\overline {GH} \) jos osuus täyttyy:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Missä \(AB\;\) tarkoittaa segmentin pituutta \(\overline {AB} .\)

Thalesin lause

Palatakseni määritelmään, useat rinnakkaiset määrittävät suhteelliset vastaavat segmentit poikittaissuunsa.

Kuvassa 3 suorat ovat yhdensuuntaiset ja voimme varmistaa:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Huomaa, että kaksi ensimmäistä edellistä suhdetta vastaavat seuraavia suhteita:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Ydelmästä saamme:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Usein on parempi työskennellä aiempien mittasuhteiden kanssa ja tässä tapauksessa:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Thaleen lauseen käänteinen

Jos useat suorat määrittävät poikittaisviivoissaan verrannollisia vastaavia segmenttejä, suorat ovat yhdensuuntaisia

Jos kuvassa 4 se täyttyy

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Sitten voimme vahvistaa, että: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Merkintä \({L_1}\parallel {L_2}\), lue \({L_1}\) on rinnakkainen \({L_2}\) kanssa.

Edellisestä suhteesta saamme:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Jakson jakaminen useisiin samanpituisiin osiin

Havainnollistamme konkreettisen esimerkin avulla, kuinka segmentti jaetaan samanpituisiin osiin.

Jaa segmentti \(\overline {AB} \) 7 yhtä pitkäksi segmentiksi

Alkutilanne

Piirrä apuviiva, joka kulkee janan yhden pään läpi

Apuviivalle piirretään kompassin tuella 7 yhtä pitkää segmenttiä

Piirrä viiva, joka yhdistää viimeksi piirretyn janan päät ja jaetun janan toisen pään

Ne piirretään samansuuntaisesti viimeisen juuri piirretyn viivan kanssa, joka kulkee niiden pisteiden läpi, joissa kehän kaaret leikkaavat apuviivan.

Kun on annettu segmentti \(\overline {AB} \), segmentin pisteen \(P\) sanotaan jakavan segmentin \(\overline {AB} \) suhteessa \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Segmentin jakaminen tietyssä suhteessa

Annettu segmentti \(\overline {AB} \) ja kaksi positiivista kokonaislukua \(a, b\); piste \(P\), joka jakaa segmentin suhteessa \(\frac{a}{b};\;\), löytyy seuraavasti:

1. Jaa segmentti \(\overline {AB} \) \(a + b\) samanpituisiksi segmenteiksi.
2. Otetaan \(a\) segmenttejä pisteestä \(A\).

esimerkkejä

Segmentin \(\overline {AB} \) jako suhteessa \(\frac{a}{b}\)

Syy	Osien lukumäärä, joihin segmentti on jaettu	Pisteen sijainti \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Sovellettuja esimerkkejä Thaleen lauseesta

hakemus 1: Kolme tonttia ulottuu Sol-kadulta Luna-kadulle, kuten kuvassa 5.

Sivurajat ovat kohtisuorassa Luna Street -katua vastaan. Jos Sol-kadun tonttien julkisivu on yhteensä 120 metriä, määritä kunkin tontin julkisivu kyseisellä kadulla, jos se on myös tiedossa:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Ongelmailmoitus

Koska suorat ovat kohtisuorassa Luna Streetiin nähden, ne ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa, Thalesin lausetta soveltamalla voimme vahvistaa:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Yllä mainituista voimme päätellä:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Samalla tavalla voimme päätellä:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Ratkaisu

Suhteellisuusvakion \(k,\) määrittämiseksi käytämme suhteiden ominaisuuksia:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Yllä olevasta saamme:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\vasen( {10} \oikea) = 12.\)

Analogisesti:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\vasen( {20} \oikea) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Vastaus

Segmentti	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Pituus	12 m	48 m	24 m	36 m

hakemus 2: Graafinen suunnittelija on suunnitellut suunnikkaan muotoisen hyllyn ja sijoittaa 3 hyllyä kuvan osoittamalla tavalla. Kuva 6, pisteet E ja F ovat sivujen \(\overline {AD} \) ja \(\overline {BC} ,\) keskipisteet. vastaavasti. Sinun on tehtävä leikkauksia hyllyihin voidaksesi tehdä kokoonpanoja. Mihin hyllyn osaan tulee tehdä leikkauksia?

Ongelman ilmaus: Tehtävässä annetuista ehdoista johtuen seuraava täyttyy:

\(ED = EA = CF = BF\)

Apurakenteina jatkamme sivuja \(\overline {CB} \) ja \(\overline {DA} \). Viiva vedetään pisteen A kautta \(A\) ja yhdensuuntainen sivun \(\overline {EB} \) kanssa ja pisteen \(C\;\) kautta piirretään viiva yhdensuuntainen sivun \(\overline {DF} \).

Käytämme Thalesin lauseen käänteistä osoittamaan, että segmentit \(\overline {EB} \) ja \(\overline {DF} \) ovat yhdensuuntaisia, jotta voidaan soveltaa Thalesin lausetta.

Ratkaisu

Nelikulmio \(EAIB\) on konstruoimalla suuntaviiva, joten meillä on, että EA=BI, koska ne ovat suunnikkaan vastakkaisia ​​puolia. Nyt:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Soveltamalla käänteistä Thaleen lauseen käänteistä voimme päätellä:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Otetaan segmentit \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) ja segmentit BC ja CI niiden poikkisuuntaisiksi; kuten:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Ottaen \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) ja segmentit \(\overline {AC} \) ja \(\overline {EB} \) niiden poikkisuuntaisiksi, saamme:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Samoin on osoitettu, että:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Vastaukset

Diagonaaliset leikkaukset \(\overline {AC} \) on tehtävä pisteissä \(G\;\) ja \(H\) siten, että:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Sama koskee hyllyjä \(\overline {EB} \) ja \(\overline {DF} \).