Esimerkki koko tilasta

Matemaattinen analyysi on matemaattisten tieteiden haara, joka käsittelee täysi tila, joka on eräänlainen metrinen tila.

Metrinen tila koostuu pisteistä ja niiden välisen etäisyyden funktiosta; näissä tiloissa on mahdollista määritellä Cauchy-sekvenssi, joka muodostuu yhä pienemmistä etäisyyksistä näiden kahden pisteen välillä. Kun metrisessä tilassa ei ole enää mahdollista löytää pienempää etäisyyttä sekvenssistä, meillä on a täysi tila. Suljetut numeeriset joukot, eli ne, joissa on raja, ovat täydellisiä välilyöntejä.

Esimerkki koko tilasta:

Luonnollisten numeroiden joukko, 0 mukaan lukien, on täydellinen välilyönti, koska tämä joukko on suljettu 0: n loppuun mennessä. Tämän numerojoukon edustus on N= [0, 1, 2,… n}.

Otetaan mikä tahansa kaksi pistettä tämän joukon kahden elementin, esimerkiksi 4 ja 8 välillä, jotka on esitetty seuraavalla tavalla p = (4, 8), kahden pisteen välinen etäisyysfunktio on yhtä suuri kuin 4, Cauchyn jakson antaa sekvenssi {4, 3, 2, 1, 0}, joka yhtyy 0.

Toinen esimerkki on joukko positiivisia reaalilukuja, jotka on muodostettu merkillä {0}, joka esitetään muodossa

JA⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, koska koska tässä pisteessä on kaksi pistettä, Cauchyn jakso lähentyy, kun etäisyys on 0

Rationaalilukujen joukko ei ole täydellinen välilyönti, koska etäisyys 0 (luku 0 lukuna ei esiintyy tässä joukossa), mikä tekee Cauchyn sekvenssistä ei yhtenevää missään tämän kohdassa aseta.

Kaikki luonnollisten lukujen suljetut välit ovat täydellinen tila.