Définition de la géométrie non euclidienne

Fondamentalement, les géométries non euclidiennes sont celles qui découlent de la remise en question de la soi-disant 5e postulat d'Euclide, donc une caractérisation générale du travail d'Euclide est essentielle, qui était un mathématicien et géomètre grec, dont le travail est paradigmatique pour le Géométrie, pour être considéré comme l'un de ses fondateurs. Il est connu avec certaines Sécurité qui vécut dans la ville d'Alexandrie, foyer culturel de l'Antiquité, vers l'an 300 av. c.

Son oeuvre Éléments il commence par une série de « principes », constitués d'une liste de 23 définitions; suivi de 5 postulats, se référant à

Les figures spécifiquement géométrique; et 5 axiomes généraux, communs à d'autres disciplines mathématiques. Ensuite, après les principes, Euclide introduit les « propositions », de deux types: les problèmes, référés aux bâtiment de figures avec règle et compas; et théorèmes, se référant à la démonstration des propriétés que certaines figures géométriques.

Cinquième postulat d'Euclide

Il affirme que "Si une droite qui tombe sur deux autres droites rend les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droites, puis, si les deux lignes se prolongent indéfiniment, elles se rejoignent du côté dont les angles sont inférieurs à deux droit”. Si les angles étaient droits, alors ces lignes, selon la définition n° 23, seraient parallèles ("Les lignes parallèles sont des lignes qui, si elles sont dans le même plan et se prolongent indéfiniment, ne se rencontrent dans aucune direction.”).

Ce postulat, plus complexe que les précédents, n'était pas en soi indubitable: il n'était pas évident que, prolongeant indéfiniment, elles se couperaient du côté où les angles étaient inférieurs à deux angles droits, car il ne serait pas possible de le prouver par bâtiment. Ensuite, la possibilité que les lignes se rapprochent indéfiniment sans jamais se croiser était laissée ouverte.

Tentatives de prouver le cinquième postulat

C'est pour cette raison que, depuis l'Antiquité jusqu'au milieu du XIXe siècle, les tentatives infructueuses de prouver le cinquième postulat se succèdent: une preuve est toujours obtenue; mais introduisant un autre postulat supplémentaire (logiquement équivalent au cinquième), différent de ceux d'Euclide. Autrement dit, le cinquième postulat n'a pas pu être prouvé, mais a été remplacé par un équivalent.

Un exemple de ceci est le postulat de John Playfair (s. XVIII): «Un seul point parallèle à cette droite passe par un point extérieur à une droite qui se trouve dans le même plan." (connu comme "postulat parallèle”). Les géométries non euclidiennes découlent précisément des tentatives infructueuses de prouver le cinquième postulat du système euclidien.

Le test d'absurdité de Saccheri

En 1733, le mathématicien italien Girolamo Saccheri tenta de prouver l'absurdité du cinquième postulat d'Euclide. Pour ce faire, il construit un quadrilatère (dit "Quadrilatère de Saccheri", dans lequel une paire d'angles sont des angles droits) et a déclaré que le cinquième postulat est équivalent à la proposition que le angles caractéristiques (ceux opposés à la paire d'angles droits) de ce quadrilatère sont aussi des angles droits. alors il y a trois hypothèse possible, s'excluant mutuellement: que les deux angles caractéristiques soient droits, aigus ou obtus. Pour prouver le cinquième postulat par l'absurde, il fallait prouver (sans recourir au cinquième postulé) que les hypothèses de l'angle obtus et aigu impliquaient une contradiction et, par conséquent, étaient faux.

Saccheri a réussi à prouver que l'hypothèse de l'angle obtus est contradictoire, mais il n'a pas réussi dans le cas de l'angle aigu. Au contraire, il en a déduit une série de théorèmes cohérents et incompatibles avec la géométrie euclidienne. Enfin, il a conclu que, compte tenu de l'étrangeté de ces théorèmes, l'hypothèse devait être fausse. Par conséquent, il crut avoir prouvé que le cinquième postulat était absurde; cependant, ce qu'il a fait a été de prouver par inadvertance un ensemble important de théorèmes de géométrie non euclidienne.

La découverte « simultanée » des géométries non euclidiennes

Karl F. Gauss, au XIXe siècle, a été le premier à soupçonner que le cinquième postulat ne pouvait pas être prouvé à partir des quatre autres (c'est-à-dire qu'il était indépendamment) et à concevoir la possibilité d'une géométrie non euclidienne qui s'appuierait sur les quatre postulats euclidiens et sur la négation des cinquième. Il n'a jamais publié sa découverte: c'est considéré comme un cas de découverte simultanée, car il avait trois référents indépendants (Gauss lui-même, János Bolyai et Nikolai Lobachevsky).

Le refus de cinquième droit d'Euclide implique deux possibilités (reprenant la formulation équivalente de Playfair): par un point extérieur à une droite, soit aucune passe parallèle, soit plus d'une passe parallèle. Parmi les géométries non euclidiennes on trouve, par exemple, la géométrie "imaginaire» de Lobachevsky, — plus tard connu sous le nom de «hyperbolique"- selon, "Étant donné un point extérieur à une droite, des droites sécantes infinies, des droites non sécantes infinies et seulement deux droites parallèles passent par ce point.», à la différence de l'unique parallèle euclidien; ou la géométrie elliptique de Bernhard Riemann, qui stipule que "Par un point extérieur à une droite, aucune parallèle à cette droite ne passe.”.

Applications et implications de la découverte

Actuellement, on sait que, dans l'espace local, les deux géométries donnent des résultats approximatifs. Les différences apparaissent lorsque l'espace physique est décrit par une géométrie ou une autre, en considérant de grandes distances. Bien que nous continuions à utiliser la géométrie euclidienne, puisque c'est celle qui décrit le plus simplement notre espace à l'échelle locale, la découverte des géométries non euclidiennes a été décisive dans la mesure où elle signifiait une transformation radicale de la compréhension des vérités scientifique.

Jusque-là, on pensait que la géométrie euclidienne décrivait véritablement l'espace. En prouvant la possibilité de le décrire à travers une autre géométrie, avec d'autres postulats, il a fallu repenser les critères par lesquels il était possible d'assumer une explication ou une autre telle que "vrai”.

Bibliographie

MARTINEZ LORCA, A. (1980) "L'éthique de Socrate et son influence sur le pensait Occidental », dans Revista Baética: Estudios de Arte, Géographie et Histoire, 3, 317-334. Université de Malaga.

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