Définition d'équation quadratique/quartique

Une équation du second degré ou, à défaut, quadratique, par rapport à une inconnue, s'exprime sous la forme:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Où l'inconnue est \(x\), tant que \(a, b\) et c sont des constantes réelles, avec \(a \ne 0.\)

Il existe plusieurs techniques pour résoudre les équations du second degré, dont la factorisation, auquel cas il faut tenir compte de la propriété suivante selon la résolution :

Si le produit de deux nombres est nul alors il y a deux possibilités :

1. Les deux sont égaux à zéro.
2. Si l'un est non nul alors l'autre est nul

Ce qui précède peut être exprimé comme suit :
Si \(pq = 0\) alors \(p = 0\) ou \(q = 0\).

Exemple pratique 1: résoudre l'équation \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Situation initiale
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Ajoutez 8 aux deux côtés de l'équation pour résoudre \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	La racine carrée est obtenue en cherchant à isoler \(x.\) instagram story viewer 8 est factorisé et les propriétés des radicaux et des puissances sont appliquées.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	Vous obtenez la racine de \({x^2}\)
\(x = \pm 2\carré 2 \)

Les solutions de \({x^2} – 8\)=0 sont :
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Exemple pratique 2: Résoudre l'équation \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Situation initiale
\({x^2} – {12^2} = 0\)	La racine carrée de 144 est 12. Une différence de carrés est identifiée.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	La différence des carrés est factorisée
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	On considère la possibilité que le facteur \(x + 12\) soit égal à 0. L'équation obtenue est résolue.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	On considère la possibilité que le facteur \(x – 12\) soit égal à 0. L'équation obtenue est résolue.

Les solutions de l'équation \({x^2} – 144 = 0\) sont

\(x = – 12,\;12\)

Exemple pratique 3: résoudre l'équation \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Situation initiale
\(x\gauche( {x + 3} \droite) = 0\)	\(x\) est identifié comme facteur commun et la factorisation est effectuée.
\(x = 0\)	Considérez la possibilité que le facteur \(x\) soit égal à 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	On considère la possibilité que le facteur \(x – 12\) soit égal à 0. L'équation obtenue est résolue.

Les solutions de l'équation \({x^2} + 3x = 0\), sont :
\(x = – 3,0\)

Exemple pratique 4: résoudre l'équation \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Situation initiale
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	La racine carrée de 49 est 7 et \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Un trinôme carré parfait est identifié.
\({\gauche({x – 7} \droite)^2} = 0\)	Le trinôme carré parfait s'exprime sous la forme d'un binôme au carré.
\(x - 7 = 0\) \(x = 7\)

La solution de \({x^2} – 14x + 49 = 0\) est :
\(x = 7\)

Exemple pratique 5: résoudre l'équation \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Situation initiale
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Le produit \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\gauche( {10{x^2} – 8x} \droite) – 15x + 12 = 0\)	Il est exprimé par \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\left( {5x – 4} \right) – 3\left( {5x – 4} \right) = 0\)	Identifiez \(2x\) comme facteur commun dans le premier addend et factorisez-le. Identifiez \( – 3\) comme un diviseur commun dans le deuxième addend et factorisez-le.
\(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\)	Factoriser le facteur commun \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	On considère la possibilité que le facteur \(5x – 12\) soit égal à 0. L'équation obtenue est résolue.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Considérons la possibilité que le facteur \(2x – 3\) soit égal à 0. L'équation obtenue est résolue.

Les solutions de \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) sont :
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Exemple pratique 6: résoudre l'équation \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Situation initiale Le trinôme n'est pas un carré parfait
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Ajouter -1 de chaque côté de l'équation.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Puisque \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) en ajoutant \({2^2}\), on obtient un carré parfait.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Ajoutez \({2^2}\;\) de chaque côté de l'équation. Le côté gauche est un carré parfait.
\({\gauche( {x + 2} \droite)^2} = 3\)	Le trinôme carré parfait s'exprime sous la forme d'un binôme au carré.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Prendre la racine carrée de chaque côté de l'équation
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Résoudre pour x\).

Les solutions de \({x^2} + 4x + 1 = 0\) sont :
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Exemple pratique 7: résoudre l'équation \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Situation initiale Le trinôme n'est pas un carré parfait.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Ajouter 1 de chaque côté de l'équation
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Multipliez par chaque côté de l'équation pour que le coefficient de \({x^2}\) soit égal à 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	le produit est distribué Puisque \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), en ajoutant \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) donne un trinôme carré parfait.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Ajoutez 3 aux deux côtés de l'équation pour résoudre \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Le trinôme carré parfait s'exprime sous la forme d'un binôme au cube.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Prendre la racine carrée de chaque côté de l'équation
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Résoudre pour x\).

Les solutions de \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) sont :
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

La procédure utilisée dans l'équation ci-dessus sera utilisée pour trouver ce qu'on appelle la formule générale des solutions quadratiques.

Formule générale de l'équation du second degré.

Formule générale des équations quadratiques

Dans cette section, nous verrons comment résoudre, de manière générale, une équation quadratique

Avec \(a \ne 0\) considérons l'équation \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Puisque \(a \ne 0\) il suffit de résoudre :

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Situation initiale
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Ajoutez \( – \frac{c}{a}\) de chaque côté de l'équation.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Puisque \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), en ajoutant \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) donne un trinôme carré parfait.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Le membre de gauche de l'équation est un trinôme carré parfait.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ un^2}}}\)	Le trinôme carré parfait s'exprime sous la forme d'un binôme au carré. La fraction algébrique est faite.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Prendre la racine carrée de chaque côté de l'équation.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Les propriétés radicales s'appliquent.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Les propriétés de valeur absolue s'appliquent.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	De chaque côté de l'équation, ajoutez \( – \frac{b}{{2a}}\) pour résoudre \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	La fraction algébrique est faite.

Le terme \({b^2} – 4{a^2}c\) est appelé le discriminant de l'équation quadratique \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Lorsque le discriminant de l'équation ci-dessus est négatif, les solutions sont des nombres complexes et il n'y a pas de solutions réelles. Les solutions complexes ne seront pas traitées dans cette note.

Étant donné l'équation quadratique \(a{x^2} + bx + c = 0\), si \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Alors les solutions de cette équation sont:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

L'expression:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

C'est ce qu'on appelle la formule générale de l'équation quadratique.

Exemple pratique 8: résoudre l'équation \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(pour\)	\(b\)	\(c\)	Discriminant	de vraies solutions
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\left( 3 \right)\left( { – 5} \right) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Les solutions de l'équation sont :
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Exemple pratique 9: résoudre l'équation \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(pour\)	\(b\)	\(c\)	Discriminant	de vraies solutions
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\left( { – 4} \right)\left( 9 \right) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\gauche( {17} \droite)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Les solutions de l'équation sont :
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Exemple pratique 10: résoudre l'équation \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(pour\)	\(b\)	\(c\)	Discriminant	de vraies solutions
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Il n'a pas

Équations diverses

Il existe des équations non quadratiques qui peuvent être converties en équation quadratique, nous allons voir deux cas.

Exemple pratique 11: Trouver les solutions réelles de l'équation \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

En faisant le changement de variable \(y = \sqrt x \), l'équation précédente reste la suivante :

\(6{a^2} = 5 – 13a\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Donc \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Comme \(\sqrt x \) ne désigne que des valeurs positives, nous ne considérerons que :

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Répondre:

La seule vraie solution est :
\(x = \frac{1}{9}\)

Exemple pratique 12: résoudre l'équation \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Faire le changement de variable:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x - 5}}} \)

On obtient l'équation :

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

Les valeurs possibles de \(y\) sont :

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

De ce qui précède, nous ne considérerons que la solution positive.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Les solutions sont \(x = 9.\)