Définition de la progression arithmétique

Une suite de nombres \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​est appelée progression arithmétique si la différence entre deux nombres consécutifs est égale au même nombre \(d\), c'est Ouais:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Le nombre \(d\) est appelé la différence de la progression arithmétique.

L'élément \({a_1}\) est appelé le premier élément de la suite arithmétique.

Les éléments de la progression arithmétique peuvent être exprimés en fonction du premier élément et de sa différence, c'est-à-dire :

\({a_1},{a_1} + ré,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Ce sont les quatre premiers éléments de la progression arithmétique; En général, le \(k – \)ème élément s'exprime comme suit :

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

De l'expression ci-dessus, nous obtenons:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) ré – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

L'expression ci-dessus est équivalente à :

\({a_k} = {a_l} + \left({k – l} \right) d\)

Exemples appliqués pour la progression arithmétique

1. Trouvez la différence de la progression arithmétique: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​et trouvez les éléments \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Solution

Puisque \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) nous pouvons conclure que la différence est :

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) ré = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) ré = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. Dans une progression arithmétique on a: \({a_{17}} = 20\;\)et \({a_{29}} = – 130\), déterminer la différence de la progression arithmétique et écrire les 5 premiers éléments.

Solution

Résistant

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \left( {12} \right) d\)

\( – 150 = \left( {12} \right) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Pour trouver les 5 premiers éléments; nous allons calculer \({a_1}\) :

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Les 5 premiers éléments sont :

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Les nombres polygonaux et la somme des premiers \(n\) éléments d'une progression arithmétique

nombres triangulaires

Les nombres triangulaires \({T_n}\;\) sont formés à partir de la progression arithmétique: \(1,2,3,4 \ldots \); de la manière suivante.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

nombres carrés

Les nombres carrés \({C_n}\;\) sont formés à partir de la progression arithmétique: \(1,3,5,7 \ldots \); de la manière suivante

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

nombres pentagonaux

Les nombres carrés \({P_n}\;\) sont formés à partir de la progression arithmétique: \(1,3,5,7 \ldots \); de la manière suivante

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Ensuite, nous montrerons la formule pour trouver la somme des premiers \(n\) éléments d'une progression arithmétique.

Étant donné la progression arithmétique, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). Pour calculer la somme \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) vous pouvez utiliser la formule :

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

qui équivaut à

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

En appliquant la formule précédente, les formules pour calculer les nombres triangulaires, carrés et pentagonaux sont obtenues; qui figurent dans le tableau suivant.

nombre polygonal	\({a_1}\)	\(d\)	Formule
Triangulaire \(n – \)ème	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Carré \(n – \)ème	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Pentagone \(n – \)ème	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Exemple sur les nombres polygonaux

3. À partir de l'exemple 2, calculez \({S_{33}}\).

Solution

Dans ce cas \({a_1} = 200\) et \(d = – \frac{{25}}{2}\)

appliquer

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\left( {400 + 16\left( { – 25} \right)} \right) = 17\left( 0 \right) = 0\)

moyens arithmétiques

Étant donné deux nombres \(a\;\) et \(b,\) les nombres \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) sont appelés \(k\) signifie nombres arithmétiques \(a\;\) et \(b\); si la séquence \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) est une progression arithmétique.

Pour connaître les valeurs des moyennes arithmétiques \(k\) des nombres \(a\;\) et \(b\), il suffit de connaître la différence de la progression arithmétique, pour cela la suite doit être considéré:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

A partir de ce qui précède, nous établissons la relation :

\(b = une + \left( {k + 2 – 1} \right) d\)

En résolvant pour \(d\), on obtient :

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

exemples

4. Trouvez 7 moyennes arithmétiques entre les nombres -5 et 25.

Solution

Lors de l'application

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

avec \(b = 25,\;a = – 5\) et \(k = 7\;\) :

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

Les 7 moyennes arithmétiques sont :

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Une personne a donné 2 000 $ en acompte pour acheter un réfrigérateur et a payé le reste avec sa carte de crédit pendant 18 mois sans intérêt. Il doit payer 550 $ par mois pour régler la dette qu'il a contractée pour payer son réfrigérateur.

pour. Quel est le prix du réfrigérateur ?

b. Si vous avez payé le reste sur 12 mois sans intérêt, combien serait le paiement mensuel ?

Solution

pour. Dans ce cas:

\({a_{19}} = 2000 + 18\left( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Entre les nombres 2000 et 11900 il faut trouver 11 moyennes arithmétiques, pour lesquelles :

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Étant donné la séquence \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) trouver les 3 éléments suivants et l'expression générale de l'élément \(n\).

Solution

La suite en question n'est pas une suite arithmétique, puisque \(22 – 7 \ne 45 – 22\), mais on peut former une séquence avec les différences de deux éléments consécutifs et le tableau suivant montre les résultats:

Éléments de la séquence \({b_n}\)	Séquence \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

La troisième colonne du tableau ci-dessus nous indique que la séquence \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); est une suite arithmétique dont la différence est \(d = 8\).

Ensuite, nous écrirons les éléments de la suite \({b_n}\) en fonction de la suite \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

En général tu as :

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Lors de l'application

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Avec \({c_1} = 7\) et \(d = 8,\) on obtient :

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n – 1} \right)} \right)\)

\({b_n} = n\gauche( {4n + 3} \droite)\)

En appliquant la formule précédente: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)