Exemple de ratios et de proportions

Les rapports et les proportions, nous appelons raison au quotient indiqué par deux nombres et qui représente le rapport entre deux quantités et un proportion à l'égalité qui existe entre deux ou plusieurs raisons.

1. Raison

Un rapport indique sous forme de division la relation entre deux quantités. Il nous dit combien il y a d'unités par rapport aux autres, et il est généralement indiqué en simplifiant les fractions.

Par exemple, si dans une classe nous avons 24 filles et 18 garçons, alors nous la représenterons de l'une des manières suivantes :

24/18
24:18

Et comme on peut simplifier la fraction en la divisant par 6, alors on aura :

4/3
4:3

Et il lit qu'il y a un rapport de 4 à 3, ou 4 pour chaque 3.

Chacune des valeurs d'un rapport a un nom. La valeur qui est sur le côté gauche de la relation est appelée antécédent, et la valeur du côté droit est appelée conséquent.

Dans ce cas, le ratio filles/garçons est un ratio de 4 pour 3, soit 4 filles pour 3 garçons.

2. Proportion

La proportion indique au moyen d'une égalité la comparaison de deux rapports. Pour écrire une proportion, il faut tenir compte du fait que les valeurs antécédentes sont toujours du même côté, de même que les conséquentes.

Dans notre exemple de classe, nous pouvons comparer le ratio que nous avons, de 4 filles pour chaque 3 garçons, et on peut calculer combien de garçons sont dans une pièce par rapport au nombre de filles ou vice versa. Pour cela, nous écrirons tout d'abord la proportion que nous connaissons déjà :

4:3

Puis un signe égal

4:3=

Et puis le montant total, par exemple celui de la même pièce, en rappelant qu'il faut respecter l'ordre de l'antécédent et du conséquent. Dans notre exemple, l'antécédent sera le nombre de filles, et le conséquent le nombre de garçons.

4:3=24:18

Pour vérifier l'égalité de la proportion, deux multiplications sont effectuées. Dans une proportion, nous prendrons le signe égal comme référence. Les nombres les plus proches sont appelés les centres et les nombres les plus éloignés sont les extrêmes. Dans notre exemple, les nombres 3 et 24 sont les plus proches du signe égal, ce sont donc les centres. Le 4 et le 18, sont les extrêmes. Pour vérifier que la proportion est correcte, le produit de la multiplication des centres doit être égal au produit de la multiplication des extrêmes :

3 X 24 = 72
4 X 18 = 72

2.1 Proportion directe et proportion inverse

Les proportions peuvent exprimer des relations dans lesquelles l'augmentation de la quantité de l'antécédent augmente la quantité du conséquent. Cette variation est appelée proportion directe. L'exemple ci-dessus est un rapport direct.

En proportion inverse, l'augmentation de la quantité dans l'antécédent signifie la diminution de la quantité dans le conséquent.

Par exemple, dans un magasin de meubles, 6 ouvriers fabriquent 8 chaises en 4 jours. Si nous voulons savoir combien d'ouvriers sont nécessaires pour construire les 8 chaises en 1, 2 et 3 jours, nous utiliserons une proportion inverse.

Pour le déterminer, nous utiliserons le nombre de travailleurs comme chiffre antécédent, et le nombre de jours comme chiffre conséquent :

6:4=

En suivant le même ordre, de l'autre côté de l'égalité nous aurons encore comme précédent le nombre de travailleurs, et par conséquent les jours que cela prendra. Nous aurons quelque chose comme ceci :

6:4 = ?:3
6:4 = ?:2
6:4 = ?:1

Pour déterminer la proportion inverse, nous multiplierons les facteurs du rapport connu, dans notre exemple, 6 et 4, et nous diviserons le résultat par les données connues du deuxième rapport. Ainsi, dans notre exemple, nous aurons :

6 X 4 = 24
24 / 3 = 8
24 / 2 = 12
24 / 1 = 24

On aura donc les proportions suivantes :

6:4 = 8:3
6:4 = 12:2
6:4 = 24:1

Avec ce que l'on peut calculer pour produire les 8 chaises en trois jours, il nous faut 8 ouvriers; pour les fabriquer en deux jours, nous avons besoin de 12 ouvriers, et pour les fabriquer en 1 jour, nous avons besoin de 24 ouvriers.

Exemples de raisons

1. Dans une boîte, nous avons 45 billes bleues et 105 billes rouges. Nous l'exprimons par 45: 105 et en divisant par 15, nous avons que le rapport est de 3: 7 (trois pour sept), c'est-à-dire trois billes bleues pour sept billes rouges.
2. Dans une classe d'école, chaque ballon est utilisé par chaque équipe de cinq enfants, c'est-à-dire que nous avons cinq élèves pour chaque ballon de soccer. On a alors dans cet exemple de raison que la relation élèves - balles est de 5 à 1. Ce ratio s'écrit 5:1 et nous concluons qu'il y a un ratio de cinq élèves pour chaque ballon de soccer.
3. Dans un parking, il y a des voitures d'usines asiatiques et d'usines américaines. Au total, il y a 3060 voitures, dont 1740 sont de fabrication asiatique et le reste, 1320, de fabrication américaine. Cela nous donnera que le rapport est de 1740/1320. Pour simplifier, nous le divisons d'abord par 10, ce qui nous laisse 174/132. Si nous le divisons maintenant par 6, nous aurons le rapport 29:22, c'est-à-dire que dans le parking, il y a 29 voitures asiatiques pour 22 voitures américaines.

Exemples de proportions :

Proportion directe:

1. Dans un magasin, les bonbons nationaux et importés sont vendus dans un rapport de 3: 2 Si l'on sait que 255 bonbons nationaux sont vendus par jour, combien de bonbons importés sont vendus par jour ?

3:2=255:?
2 X 255 = 510
510/3 = 170 bonbons importés.
3: 2 = 255: 170 (trois est à deux comme 255 est à 170).

1. Garçons et filles ont été invités à une fête. Si nous savons que 6 filles y ont participé pour 4 garçons et qu'il y a 32 garçons à la fête, combien de filles y ont-elles assisté ?

6:4 = ?:32
32 X 6 = 192
192/4 = 48 filles sont allées à la fête.
6: 4 = 48:32 (6 est 4 comme 48 est 32)

1. Pour assembler une table, 14 vis sont nécessaires. De combien de vis avons-nous besoin pour assembler 9 tables ?

14:1 = ?:9
14 X 9 = 126
126/1 = 126 vis sont nécessaires.
14: 1 = 126: 9 (14 est à 1 comme 126 est à 9)

Proportion inverse :

1. Deux grues déplacent 50 conteneurs en une heure et demie. Combien de grues sont nécessaires pour déplacer les 50 conteneurs en une demi-heure ?

2:1.5 =?:.5
2 X 1,5 = 3
3 / .5 = 6 grues sont nécessaires.
2: 1,5 = 6: .5 (deux grues font une heure et demie, comme six grues font une demi-heure)

1. Si 4 élèves font un travail d'équipe en 45 minutes, combien de temps cela prendra-t-il si l'équipe est composée de 6, 8, 10 et 12 élèves ?

Nous aurons les proportions suivantes :

a) 4:45 = 6 :?
b) 4:45 = 8 :?
c) 4:45 = 10 :?
d) 4:45 = 12 :?

4 X 45 = 180

a) 180/6 = 30 minutes
b) 180/8 = 22,5 minutes
c) 180/10 = 18 minutes
d) 180/12 = 15 minutes

Les proportions seront donc :

a) 4:45 = 6:30
b) 4:45 = 8: 22,5
c) 4:45 = 10:18
d) 4:45 = 12:15

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