Exemple binomial de Newton

le Le binôme de Newton, aussi appelé "théorème du binôme " est un logarithme qui permet d'obtenir des puissances de binômes.

Pour obtenir la puissance binomiale, les coefficients appelés «coefficients binomiaux"Qui consistent en des séquences de combinaisons.

Exemple 1, Formules générales du binôme de Newton :

(a + b)² = un² + 2 ab + b²
(un B)² = un² –2 ab + b²
(a + b) 3 a³ + 3 à²b + 3 ab² + b³

Ces formules sont connues sous le nom d'identités notables, où une formule plus générale est créée qui équivaut au développement de (a + b)^m, où n est un entier naturel quelconque.

Cette formule est valable pour tout élément à Oui b d'un anneau,

A (pour les lois + Oui X) à

Condition que les deux éléments àOui b être tel que à X b = b X à:

(a + b)^m = un^m + C¹_m à^n-2 xb² + ...
+ C^p_m  à^n-p xb^p +… + C_pⁿ¹ + b^m.

Les C^p_m sont des entiers naturels, appelés coefficients binomiaux (ceux qui expriment le nombre de combinaisons de m objets pris p à p; se calcule facilement grâce au triangle de Pascal).

Exemple 2, du binôme de Newton :

On considère la multiplication :

z. z = z² où z peut être n'importe quelle expression algébrique :

Supposons maintenant que z = X + Oui, ensuite:

z. z = (x + y) = (x + y) mais (x + y)

qui peut être calculé comme ceci :

x + y
x + y

Ici la multiplication s'effectue de gauche à droite et le résultat est obtenu en additionnant algébriquement :

X² + x y
+ xy + y²

X² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

Si l'on considère :

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x + y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

Lorsque la multiplication est effectuée, nous obtenons :

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² + et²

X³ + 3x² y + 3 x y² + et³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3x² y + 3 x y² + et³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

Et quand on fait la multiplication.

X³ + x² y + 3 x y² + et³

x + y_________________

X⁴ + 3x³ y + 3 x² Oui² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + et⁴

X⁴ + 4x³et + 6x² y + 4xy³ + et⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³et + 6x² Oui² + 4xy³ + et⁴