द्विघात कार्य परिभाषा

एक वास्तविक चर का द्विघात फलन जिसका रूप व्यक्त किया गया है।

\(f\बाएं ( x \दाएं) = a{x^2} + bx + c\)

जहाँ चर \(x\), \(a, b\) और c वास्तविक स्थिरांक हैं, \(a \ne 0.\) के साथ द्विघात फलन के गुणांक कहलाते हैं।

तालिका द्विघात कार्यों के सामान्य उदाहरण और वे स्थिति जो वे मॉडल कर सकते हैं, बाद में वास्तविक समस्याओं से उनके प्रत्यक्ष आवेदन को स्पष्ट करने के लिए आगे बढ़ाते हैं।

द्विघात फंक्शन	स्थिति आप मॉडल कर सकते हैं
\(f\बाएं( x \दाएं) = {x^2}\)	चर \(y\) एक वर्ग का क्षेत्रफल है जिसकी भुजा का माप \(x\) है।
\(f\बाएं ( x \दाएं) = \pi {x^2}\)	चर \(y\) एक वृत्त का क्षेत्रफल है जिसकी त्रिज्या \(x\) है।
\(f\बाएं( x \दाएं) = 100 – 4.9{x^2}\)	चर \(y\) एक वस्तु की ऊंचाई है जिसे 100 की ऊंचाई पर गिराया गया था और \(x\) बीता हुआ समय है।
\(f\बाएं( x \दाएं) = 60\बाएं( {{\bf{sin}}45^\circ} \दाएं) x – 4.9{x^2}\)	चर \(y\) 60 मी/से के वेग से 45° के कोण पर फेंके गए एक तोप के गोले की ऊंचाई है और \(x\) बीता हुआ समय है।

सामान्य सूत्र और द्विघात फलन

यदि \(x = \alpha \) के लिए द्विघात फलन शून्य है, तो वह संख्या \(\alpha \) द्विघात फलन का मूल कहलाती है, हाँ, \(\alpha \) द्विघात समीकरण का हल है

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

द्विघात समीकरणों को हल करने का सामान्य सूत्र हमारे पास है कि एक द्विघात फलन के मूल हैं:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac}}}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} - 4एसी}}} {{2ए}}\)

ऊपर से, द्विघात फलन के मूलों और गुणांकों के बीच निम्नलिखित संबंध स्थापित होता है:

\(\alpha + \beta = - \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

उल्लेखनीय उत्पादों के माध्यम से निम्नलिखित पहचान स्थापित की जाती है:

\(a{x^2} + bx + c = a\बायाँ( {x - \alpha } \right)\बायाँ( {x - \beta } \right)\)

सामान्य सूत्र में स्थापित के समान, यह स्थापित किया गया है कि द्विघात कार्य को रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

\(f\बाएं( x \दाएं) = a{\बाएं( {x - h} \दाएं)^2} + k\)

\(h = – \frac{b}{{2a}}\) और \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\) के साथ

समीकरण को हल करके:

\(a{\बाएं( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

प्राप्त होना:

\(\बाएं| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

ऊपर से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि \(f\बाएं ( x \दाएं) = a{\बाएं ( {x - h} \दाएं)^2} + k\), केवल अगर स्थिरांक \(k\) और \(a\) के हैं विपरीत संकेत, इस द्विघात फलन के वास्तविक मूल हैं, जो हैं: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a}} \).

यदि स्थिरांक \(k\) और \(a\) का चिह्न समान है तो द्विघात फलन का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

जब \(k = 0,\;\;\)द्विघात फलन का केवल एक मूल होता है।

उदाहरण वास्तविक जीवन पर लागू होते हैं

आवेदन उदाहरण 1: अर्थशास्त्र

एक स्कूल एक सॉकर टूर्नामेंट का आयोजन करना चाहता है जहां प्रत्येक टीम प्रत्येक अन्य टीम से केवल एक बार खेलती है। मध्यस्थता की लागत के लिए $15,600 का बजट है, यदि मध्यस्थता की लागत $200 प्रति खेल है। टूर्नामेंट के लिए कितनी टीमें करा सकती हैं रजिस्ट्रेशन?

समस्या कथन: हमें एक ऐसा फ़ंक्शन खोजना होगा जो मिलानों की संख्या की गणना करता है जब हमारे पास \(n\) टीमों को गिनने के लिए हम यह मानकर चलेंगे कि टीम 1 पहले अन्य सभी के साथ खेलती है, यानी \(n – 1\) मेल खाता है। टीम 2 अब बाकी सभी के साथ खेलेगी, यानी \(n – 2\) के साथ, क्योंकि वे पहले ही टीम 1 के साथ खेल चुके होंगे। टीम 3 पहले ही टीम 1 और 2 के साथ खेल चुकी होगी, इसलिए उन्हें n-3 टीमों के साथ खेलना होगा।

उपरोक्त तर्क के साथ हम यहां पहुंचे:

\(f\बाएं( n \दाएं) = n - 1 + n - 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\बाएं( n \दाएं) = \frac{{n\बाएं( {n - 1} \दाएं)}}{2}\)

लागत समारोह है:

\(C\बाएं(n \दाएं) = 200f\बाएं(n \दाएं) = 100n\बाएं( {n - 1} \दाएं)\)

$15,600 का बजट होने पर, हमारे पास समीकरण है:

\(100n\बाएं( {n - 1} \दाएं) = 15600\)

समीकरण का हल

\(100n\बाएं( {n – 1} \दाएं) = 15600\) शुरुआती स्थिति
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) समीकरण के प्रत्येक पक्ष को 100 से विभाजित करें
\({n^2} - n - 156 = \) समीकरण के प्रत्येक पक्ष में \(- 156\) जोड़ें
\(\बाएं( {n – 13} \दाएं)\बाएं( {n + 12} \दाएं) = 0\) हमारे पास \(\बाएं( { – 13} \दाएं)\बाएं( {12} \दाएं ) = - 156\) और \(- 13 + 12 = - 1\)
यह तथ्य था।
समीकरण के समाधान \(n = - 12,\;13\)
उत्तर: 13 टीमों के पंजीकरण के लिए बजट पर्याप्त है।

आवेदन उदाहरण 2: अर्थशास्त्र

एक मेट्रोपॉलिटन ट्रांसपोर्ट बस कंपनी ने देखा है कि, आठ घंटे के दिन में, उसकी प्रत्येक बस औसतन एक हजार यात्रियों को ले जाती है। अपने कर्मचारियों को वेतन वृद्धि देने की स्थिति में होने के लिए, आपको अपना किराया बढ़ाना होगा, जो कि वर्तमान में $5 है; एक अर्थशास्त्री गणना करता है कि प्रत्येक पेसो के लिए किराया बढ़ता है, प्रत्येक ट्रक प्रत्येक दिन औसतन 40 यात्रियों को खो देगा। कंपनी ने गणना की है कि, वेतन वृद्धि को कवर करने के लिए, उसे प्रति दिन अतिरिक्त $760 प्रति ट्रक प्राप्त करना होगा। किराया कितना बढ़ना चाहिए?

समस्या का कथन: मान लीजिए \(x\) पेसो की राशि है जिसमें टिकट बढ़ जाएगा, जिसके लिए \(5 + x\) टिकट की नई कीमत है। इसी वृद्धि के साथ, प्रत्येक ट्रक औसतन प्रति दिन \(1000 - 40x\) यात्रियों को ले जाएगा।

अंत में, प्रति ट्रक राजस्व है:

\(I\बाएं( x \दाएं) = \बाएं( {5 + x} \दाएं)\बाएं( {1000 - 40x} \दाएं) = - 40\बाएं( {x + 5} \दाएं)\बाएं( {x – 25} \दाएं)\)

वेतन वृद्धि को कवर करने के लिए, प्रत्येक बस को जमा करना होगा: \(1000\बाएं (5 \दाएं) + 760 = 5760\)

अंत में हमारे पास समीकरण है:

\( – 40\बाएं( {x + 5} \दाएं)\बाएं( {x - 25} \दाएं) = 5760\)

समीकरण का हल
\( – 40\बाएं( {x + 5} \दाएं)\बाएं( {x - 25} \दाएं) = 5760\) शुरुआती स्थिति
\(\बाएं( {x + 5} \दाएं)\बाएं( {x - 25} \दाएं) = - 144\) समीकरण के प्रत्येक पक्ष को \(- 40\) से विभाजित करें
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) उल्लेखनीय उत्पाद विकसित किया गया था
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) प्रत्येक में 144 जोड़े गए
\(\बाएं( {n - 19} \दाएं)\बाएं( {n - 1} \दाएं) = 0\) हमारे पास \(\बाएं( { - 19} \दाएं)\बाएं ( { - 1} \ दाएं) = 19\) और \(- 19 - 1 = - 20\)
सकारात्मक असर
समीकरण के समाधान \(n = 1.19\)
उत्तर: टिकट की कीमत $1 या $19 पेसो बढ़ सकती है।

आवेदन उदाहरण 3: अर्थशास्त्र

एक ब्रेड स्टोर प्रति सप्ताह औसतन 1,200 रोल $ 6 के हिसाब से बेचता है। एक दिन उसने कीमत बढ़ाकर $9 प्रति पीस करने का फैसला किया; अब उसकी बिक्री घट गई है: वह एक सप्ताह में औसतन केवल 750 रोल बेचती है। प्रत्येक रोटी की कीमत कितनी होनी चाहिए ताकि आउटलेट का राजस्व उच्चतम संभव हो? मान लीजिए कि मांग और कीमत के बीच एक रैखिक संबंध है।

समस्या कथन: यह मानते हुए कि मांग D और कीमत \(x,\) के बीच एक रैखिक संबंध है

\(डी = एमएक्स + बी\)

जब \(x = 6;D = 1200;\;\) जो समीकरण उत्पन्न करता है:

\(1200 = 6m + b\)

कब \(x = 9;D = 750;\;\) लो और समीकरण प्राप्त किया जाता है:

\(750 = 9मी + बी\)

समीकरणों की प्रणाली को हल करते हुए मांग और कीमत के बीच संबंध है:

\(डी = - 150x + 2100 = - 150\बाएं ({x - 14} \दाएं)\)

आय के बराबर है

\(I\बाएं( x \दाएं) = Dx = - 150x\बाएं( {x - 14} \दाएं)\)

समाधान

एक पैराबोला में आय का ग्राफ जो नीचे की ओर खुलता है और इसका अधिकतम मूल्य शीर्ष पर पहुंच जाता है जिसे मॉडल करने वाले द्विघात फलन की जड़ों के औसत से पाया जा सकता है आय। मूल हैं \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\)।

\(एच = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(मैं\बाएं(एच \दाएं) = - 150\बाएं(7 \दाएं)\बाएं( {7 - 14} \दाएं) = 7350\)

उत्तर

अधिकतम राजस्व $7,350 है और $7 की कीमत के साथ हासिल किया जाता है; बिक्री, औसतन 1050 रोल एक सप्ताह।

आवेदन उदाहरण 4: अर्थशास्त्र

एक दिन में कुर्सियों के निर्माण की लागत की गणना द्विघात फलन के साथ की जा सकती है:

\(C\बाएं( n \दाएं) = {n^2} - 200n + 13000\)

प्राप्त की जा सकने वाली न्यूनतम लागत निर्धारित करें।

समस्या का विवरण

\(C\बाएं (n \दाएं)\) का ग्राफ एक परवलय है जो ऊपर की ओर खुलता है और \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\) पर अपने न्यूनतम बिंदु पर पहुंचेगा। बाएँ ({ – 200} \दाएँ)}}{{2\बाएँ (1 \दाएँ)}} = 100\)

\(C\बाएं( {100} \दाएं) = {\बाएं( {100} \दाएं)^2} - 200\बाएं( {100} \दाएं) + 13000 = 3000\)

उत्तर

सबसे कम संभव लागत $3000 के बराबर है और 100 कुर्सियों के निर्माण से प्राप्त की जाती है।

अनुप्रयोग उदाहरण 5: ज्यामिति

एक रोम्बस का क्षेत्रफल 21 सेमी 2 है; यदि इसके विकर्णों की लंबाई का योग 17 सेमी है, तो समचतुर्भुज के प्रत्येक विकर्ण की लंबाई क्या है?

समस्या कथन: एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना की जाती है:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

\(D\) और \(d\) इसके विकर्णों की लंबाई के साथ, यह भी जाना जाता है:

\(डी + डी = 7\)

\(डी = 17 - डी\)

प्रतिस्थापित करके आपको मिलता है:

\(A = \frac{{\बाएं ({17 - d} \दाएं) d}}{2}\)

अंत में हमें समीकरण मिलता है

\(\frac{{\बाएं( {17 – d} \दाएं) d}}{2} = 21\)

समाधान
\(\frac{{\बाएं( {17 – d} \दाएं) d}}{2} = 21\) प्रारंभिक स्थिति
\(\बाएं( {17 – d} \दाएं) d = 42\) समीकरण के प्रत्येक पक्ष को \(- 40\) से गुणा करें
\({d^2} - 17d + 42 = 0\) उत्पाद विकसित किया गया था।
\(\बाएं( {डी - 14} \दाएं)\बाएं( {डी - 3} \दाएं) = 0\) हमारे पास \(\बाएं( { - 14} \दाएं)\बाएं ( { - 3} \ दाएं) = 42\) और \(- 14 - 3 = - 17\)
सकारात्मक असर
समीकरण के समाधान \(डी = 3.14\)
उत्तर:

समचतुर्भुज के विकर्णों की माप 14 सेमी और 3 सेमी है।

अनुप्रयोग उदाहरण 6: ज्यामिति

140 वर्ग मीटर का एक आयताकार चिकन कॉप बनाने की इच्छा है, जो चिकन कॉप के निचले हिस्से का निर्माण करने वाली काफी लंबी बाड़ का लाभ उठाएगा। अन्य तीन भुजाओं को 34 रैखिक मीटर तार की जाली से बनाया जाएगा, कुल जाल का उपयोग करने के लिए चिकन कॉप की लंबाई और चौड़ाई कितनी होनी चाहिए?

समान शर्तों के तहत, एक ही जाल से अधिकतम कितना क्षेत्र घेरा जा सकता है?

समस्या कथन: आरेख के अनुसार क्षेत्रफल बराबर है:

\(A\बाएं( x \दाएं) = x\बाएं( {34 - 2x} \दाएं) = 2x\बाएं( {17 - x} \दाएं)\)

जहां \(x\) बाड़ के लम्बवत् भुजा की लंबाई है।

आयत के माप को जानने के लिए ताकि इसका क्षेत्रफल 140 वर्ग मीटर हो, यह समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त है

\(2x\बाएं( {17 - x} \दाएं) = 140\)

चूंकि \(A\बाएं ( x \दाएं)\) का ग्राफ एक परवलय है जो क्षेत्र के अधिकतम मूल्य की गणना करने के लिए नीचे की ओर खुलता है, यह परवलय के शीर्ष की गणना करने के लिए पर्याप्त है।

जवाब
क्षेत्रफल 140 वर्ग मीटर वाले आयत की माप
बाड़ के लंबवत पक्ष की लंबाई

\(x\) बाड़ के समानांतर भुजा की लंबाई

\(34 - 2x\)
10 14
7 20

शीर्ष का पहला निर्देशांक है \(h = \frac{{17}}{2}\) और

\(A\बाएं( h \दाएं) = \frac{{289}}{2}\)

क्षेत्रफल अधिकतम होता है जब लम्बवत भुजा का माप \(\frac{{17}}{2}\;\)m होता है और समानांतर भुजा का माप 17m होता है, यह 17m मापता है, अधिकतम क्षेत्रफल का मान \(\frac{) होता है {289}} {2}\)m2.

एक द्विघात समारोह का ग्राफ

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, जड़ें वे बिंदु हैं जहां फ़ंक्शन का ग्राफ़ \(x\) अक्ष को काटता है।

अभिव्यक्ति से

\(f\बाएं( x \दाएं) = a{\बाएं( {x - h} \दाएं)^2} + k,\)

हम द्विघात फलन के ग्राफ का सामान्य रूप स्थापित करेंगे।

पहला मामला \(a > 0\) और \(k > 0\)

\(f\बाएं( x \दाएं) = a{\बाएं( {x - h} \दाएं)^2} + k\)

\(एक्स\)	\(f\बाएं( x \दाएं)\)
\(एच - 1\)	\(ए + के\)
\(एच - 2\)	\(4a + k\)
\(एच - 3\)	\(9a + k\)
\(एच - 4\)	\(16a + k\)
\(एच\)	\(क\)
\(एच + 1\)	\(ए + के\)
\(एच + 2\)	\(4a + k\)
\(एच + 3\)	\(9a + k\)
\(एच + 4\)	\(16a + k\)

इस मामले में ग्राफ संतुष्ट करता है:

सममित: समरूपता के अक्ष के साथ \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) अर्थात् \(f\बाएँ( {h – s} \दाएँ) = f\बाएँ ( {h + एस} \ दाएं) \)

यह \(x\) अक्ष के ऊपर है और इसे प्रतिच्छेद नहीं करता है। अर्थात, \(f\left( x \right) > 0\) का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

ग्राफ़ पर निम्नतम बिंदु बिंदु \(\बाएं( {h, k} \दाएं)\) पर है। वह है \(f\बाएं( x \दाएं) \ge f\बाएं( h \दाएं) = k\)

दूसरा मामला \(a < 0\) और \(k < 0\)

\(f\बाएं( x \दाएं) = a{\बाएं( {x - h} \दाएं)^2} + k\)

\(एक्स\)	\(f\बाएं( x \दाएं)\)
\(एच - 1\)	\(ए + के\)
\(एच - 2\)	\(4a + k\)
\(एच - 3\)	\(9a + k\)
\(एच - 4\)	\(16a + k\)
\(एच\)	\(क\)
\(एच + 1\)	\(4a + k\)
\(एच + 2\)	\(9a + k\)
\(एच + 3\)	\(4a + k\)
\(एच + 4\)	\(16a + k\)

इस मामले में ग्राफ संतुष्ट करता है:

सममित: समरूपता के अक्ष के साथ \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) अर्थात् \(f\बाएँ( {h – s} \दाएँ) = f\बाएँ ( {h + एस} \ दाएं) \)

यह \(x\) अक्ष के नीचे है और इसे प्रतिच्छेद नहीं करता है। अर्थात, \(f\left( x \right) < 0\) का कोई वास्तविक मूल नहीं है। ग्राफ़ पर उच्चतम बिंदु बिंदु \(\बाएं( {h, k} \दाएं)\) पर है। वह है \(f\बाएं( x \दाएं) \le f\बाएं( h \दाएं) = k\) तीसरा मामला \(a > 0\) और \(k \le 0\)।

यह स्थिति पहली स्थिति के समान है, अंतर यह है कि अब हमारे पास एक वास्तविक मूल (जब \(k = 0\) ) या दो वास्तविक मूल हैं।

इस मामले में ग्राफ संतुष्ट करता है:

सममित: समरूपता के अक्ष के साथ \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) अर्थात् \(f\बाएँ( {h – s} \दाएँ) = f\बाएँ ( {h + एस} \ दाएं) \)

यह \(x\) अक्ष को प्रतिच्छेदित करता है, अर्थात इसकी कम से कम एक वास्तविक जड़ होती है।

ग्राफ़ पर निम्नतम बिंदु बिंदु \(\बाएं( {h, k} \दाएं)\) पर है। वह है \(f\बाएं( x \दाएं) \ge f\बाएं( h \दाएं) = k\)

चौथा मामला \(a <0\) और \(k \ge 0\)। यह स्थिति दूसरी स्थिति के समान है, अंतर यह है कि अब हमारे पास एक वास्तविक मूल (जब \(k = 0\) ) या दो वास्तविक मूल हैं। इस मामले में ग्राफ संतुष्ट करता है:

सममित: समरूपता के अक्ष के साथ \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) अर्थात् \(f\बाएँ( {h – s} \दाएँ) = f\बाएँ ( {h + एस} \ दाएं) \)

ग्राफ़ पर निम्नतम बिंदु बिंदु \(\बाएं( {h, k} \दाएं)\) पर है। अर्थात \(f\बाएं( x \दाएं) \le f\बाएं( h \दाएं) = k\)

एक द्विघात फ़ंक्शन के ग्राफ़ को परवलय कहा जाता है और हाइलाइट करने के लिए इसके तत्व समरूपता की धुरी होते हैं, वे बिंदु जहां यह प्रतिच्छेद करता है \(x\) अक्ष और शीर्ष पर, जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर वह बिंदु है जहां यह निम्नतम या उच्चतम बिंदु पर निर्भर करता है मामला।

किए गए विश्लेषण के आधार पर, हम कह सकते हैं:

द्विघात फलन \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) से जुड़े परवलय का शीर्ष \(\बाएं( {h, k} \right)\) पर है, जहां :

\(h = - \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\बाएं ( h \right)\)

उदाहरण

द्विघात फलन \(y = {x^2}\)	महत्वपूर्ण तत्व
परवलय का शीर्ष	\(\बाएं( {0,0} \दाएं)\)
परबोला की समरूपता का अक्ष	\(एक्स = 0\)
\(x\) अक्ष के साथ इंटरसेप्ट करता है	\(\बाएं( {0,0} \दाएं)\)

द्विघात फलन \(y = – \frac{1}{2}{\बाएं( {x – 2} \दाएं)^2}\)	महत्वपूर्ण तत्व
परवलय का शीर्ष	\(\बाएं( {2,0} \दाएं)\)
परबोला की समरूपता का अक्ष	\(एक्स = 2\)
\(x\) अक्ष के साथ इंटरसेप्ट करता है	\(\बाएं( {2,0} \दाएं)\)

द्विघात फलन \(y = {\बाएं( {x + 2} \दाएं)^2} - 4\)	महत्वपूर्ण तत्व
परवलय का शीर्ष	\(\बाएं( { - 2, - 4} \दाएं)\)
परबोला की समरूपता का अक्ष	\(x = - 2\)
\(x\) अक्ष के साथ इंटरसेप्ट करता है	\(\बाएं( { – 4,0} \दाएं);\बाएं( {0,0} \दाएं)\)

द्विघात फलन \(y = – \frac{1}{2}{\बायाँ( {x – 9} \दाहिना)^2} + 8\)	महत्वपूर्ण तत्व
परवलय का शीर्ष	\(\बाएं( {9,8} \दाएं)\)
परबोला की समरूपता का अक्ष	\(एक्स = 9\)
\(x\) अक्ष के साथ इंटरसेप्ट करता है	\(\बाएं( {5,0} \दाएं);\बाएं( {13,0} \दाएं)\)

द्विघात फलन \(y = {x^2} + 1\)	महत्वपूर्ण तत्व
परवलय का शीर्ष	\(\बाएं( {0,1} \दाएं)\)
परबोला की समरूपता का अक्ष	\(एक्स = 0\)
\(x\) अक्ष के साथ इंटरसेप्ट करता है	नहीं है

द्विघात फलन \(y = – \frac{1}{2}{\बाएं( {x – 2} \दाएं)^2} – 1\)	महत्वपूर्ण तत्व
परवलय का शीर्ष	\(\बाएं( {2, - 1} \दाएं)\)
परबोला की समरूपता का अक्ष	\(एक्स = 2\)
\(x\) अक्ष के साथ इंटरसेप्ट करता है	नहीं है

यदि किसी द्विघात फलन की वास्तविक जड़ें मौजूद हैं, तो हम उनसे संबंधित परवलय का रेखांकन कर सकते हैं। मान लीजिए कि \(f\बाएं( x \दाएं) = a\बाएं( {x - \alpha } \दाएं)\बाएं( {x - \बीटा } \दाएं)\)

इसके लिए निम्नलिखित बातों का ध्यान रखना चाहिए:

\(\alpha + \beta = - \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta}}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

जैसा

\(के = एफ\बाएं (एच \दाएं)\)

\(के = एफ\बाएं ({\frac{{\अल्फा + \बीटा}}{2}} \दाएं)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta}}{2} – \alpha} \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta}}{2} - \ बीटा} \ दाएँ) \)

\(k = - \frac{a}{4}{\left( {\alpha - \beta } \right)^2}\)

उदाहरण

द्विघात फलन \(f\बाएं( x \दाएं) = \frac{1}{4}\बाएं( {x - 3} \दाएं)\बाएं( {x + 6} \दाएं)\) का ग्राफ बनाएं

समाधान

मूल हैं \(\alpha = 3\;\) और \(\beta = – 6\); तब \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\)।

\(k = f\बायां( { - \frac{3}{2}} \दाएं) = 2\बायां( { - \frac{3}{2} - 3} \दायां)\बायां( { - \frac) {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

तो हम निम्न तालिका बना सकते हैं

\(f\बाएं( x \दाएं) = 2\बाएं( {x - 3} \दाएं)\बाएं( {x + 6} \दाएं)\)	महत्वपूर्ण तत्व
परवलय का शीर्ष	\(\बाएं( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \दाएं)\)
परबोला की समरूपता का अक्ष	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
\(x\) अक्ष के साथ इंटरसेप्ट करता है	\(\बाएं( { – 6,0} \दाएं)\;,\;\बाएं( {3,0} \दाएं)\)

फ़ंक्शन के ग्राफ़ को स्केच करने के लिए:

\(f\बाएं( x \दाएं) = 3{x^2} - 18x + 4\)

हम उन्हीं विचारों का उपयोग करेंगे जिनका हमने पहले ही उपयोग किया है; इसके लिए हम सबसे पहले शीर्ष का निर्धारण करेंगे।

इस स्थिति में, \(a = 3;b = - 12,\;c = 4\)।

चूँकि \(a > 0\), परवलय “खुलेगा और \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \बायाँ( {\frac{{ – 18}}{{3\बाएँ) ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) आगे हम \(k:\) की गणना करेंगे

\(k = f\बाएं( h \दाएं) = f\बाएं( 3 \दाएं) = 3{\बाएं( 3 \दाएं)^2} - 18\बाएं( 3 \दाएं) + 4 = - 23\)

परवलय का शीर्ष \(\बाएं( {3, - 23} \दाएं)\) पर है और चूँकि यह ऊपर की ओर खुलता है, तो परवलय \(x\;\) अक्ष को काटेगा और इसकी सममिति की धुरी \(x\;\) है (एक्स = 3 \)।

अब हम द्विघात फलन पर विचार करते हैं

\(f\बाएं ( x \दाएं) = - 5{x^2} + 10x - 9\)

इस स्थिति में, \(a = 3;b = - 12,\;c = 4\)।

चूंकि \(a < 0\), परवलय नीचे की ओर "खुलेगा" और \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \बाएं( {\frac{{10}}{{\बाएं( 2 \दाएं)\बाएं ({- 5} \दाएं)}}} \दाएं) = 1.\) ए आगे हम गणना करेंगे \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ दाएँ) - 9 = - 4\) का शीर्ष परवलय \(\बाएं( {1, - 4} \दाएं)\) पर है और चूंकि यह नीचे की ओर खुलता है, तो परवलय \(x\;\) अक्ष को नहीं काटेगा और इसकी समरूपता की धुरी \(x =) है 1.\)