ज्यामितीय प्रगति परिभाषा

संख्याओं का अनुक्रम \({{a} _ {1}}, ~ {{a} _ {2}}, {{a} _ {3}}, \ ldots \); इसे एक ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है, यदि दूसरे से शुरू होकर, प्रत्येक तत्व पिछले एक के गुणन से एक संख्या \(r\ne 0\) से प्राप्त होता है, अर्थात, यदि:
\({{a} _ {n+1}}={{a} _ {n}}r\)
कहाँ:
- संख्या \(r\) को ज्यामितीय प्रगति का अनुपात कहा जाता है।
- तत्व \({{a}_{1}}\) को अंकगणितीय प्रगति का पहला तत्व कहा जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के तत्वों को पहले तत्व और उसके अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो है:
\ ({{a} _ {1}}, {{a} _ {1}} r, {{a} _ {1}} {{r} ^ {2}}, {{a} _ {1} {{आर}^{3}}\)

वे अंकगणितीय प्रगति के पहले चार तत्व हैं; सामान्य तौर पर, \(k-\)वें तत्व को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
\ ({{a} _ {k}} = {{a} _ {1}} {{r} ^ {k-1}} \)

जब पिछली अभिव्यक्ति के \({{a} _ {1}}\ne 0,~\) हम प्राप्त करते हैं:

\ (\ frac {{{a} _ {k}}} {{{a} _ {l}}} = \ frac {{{a} _ {1}} {{r} ^ {k-1}} {{{a} _ {1}}{{r}^{l-1}}}\)

\ (\ frac {{{a} _ {k}}} {{{a} _ {l}}} = {{r} ^ {k-l}} \)

उपरोक्त अभिव्यक्ति इसके बराबर है:

\ ({{a} _ {k}} = {{a} _ {l}} {{r} ^ {k-l}}})

उदाहरण/व्यायाम 1. अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात करें: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​\(2,6,18,54,\ldots \) ​​\({{a}_{20}},~{{a}_{91}}) \)

समाधान

चूंकि \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अनुपात है:

\(आर=3\)

\({{a}_{20}}=2\बाएं( {{3}^{20-1}} \दाएं)=2{{\बाएं( 3 \दाएं)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\बाएं( {{3}^{91-1}} \दाएं)=2{{\बाएं( 3 \दाएं)}^{90}}\)

उदाहरण/व्यायाम 2. अंकगणितीय प्रगति में हमारे पास है: \({{a} _ {17}}=20~\)y \({{a} _ {20}}=-1280\), ज्यामितीय प्रगति का अनुपात निर्धारित करें और लिखें पहले 5 तत्व।

समाधान

पहना हुआ

\ (\ frac {{{a} _ {k}}} {{{a} _ {l}}} = {{r} ^ {k-l}} \)

\ (\ frac {{{y} _ {20}}} {{{y} _ {17}}} = {{r} ^ {20-17}} \)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

अंकगणितीय प्रगति के पहले 5 तत्वों को खोजने के लिए; हम \ ({{a} _ {1}} \) की गणना करेंगे:

\ ({{a} _ {k}} = {{a} _ {1}} {{r} ^ {k-1}} \)

\({{a} _ {17}} = {{a} _ {1}} {{\बाएं (आर \दाएं)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\बाएं( -4 \दाएं)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\बाएं (4 \दाएं)}{{{4}^{16}}}={{a} _ {1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

ज्यामितीय प्रगति के पहले 5 तत्व हैं:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\बाएं( -4 \दाएं),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\बाएं( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\बाएं (-4 \दाएं)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\बाएं( -4 \दाएं)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}})

उदाहरण/अभ्यास 3. एक पतला कांच अपने से गुजरने वाले सूर्य के प्रकाश का 2% अवशोषित कर लेता है।

को। उन 10 पतले गिलासों में से कितने प्रतिशत प्रकाश गुजरेगा?

बी। उन 20 पतले शीशों से कितने प्रतिशत प्रकाश गुजरेगा?

सी। प्रकाश का प्रतिशत निर्धारित करें जो समान विशेषताओं वाले \(n\) पतले चश्मे से गुजरता है, जो लगातार रखा जाता है।

समाधान

हम कुल प्रकाश को 1 से निरूपित करेंगे; 2% प्रकाश को अवशोषित करके, 98% प्रकाश कांच के माध्यम से जाता है।

हम \({{a} _ {n}}\) के साथ उस प्रकाश के प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करेंगे जो कांच \(n\) से होकर गुजरता है।

\({{a} _ {1}} = 0.98, ~ {{a} _ {2}} = 0.98 \ बाएँ (0.98 \ दाएँ), ~ {{a} _ {3}} = {{\ बाएँ ( 0.98 \दाएं)}^{2}}\बाएं( 0.98 \दाएं),\)

सामान्य तौर पर \({{a}}}}={{बाएं (0.98 \दाएं)}^{n}}\)

को। \({{a} _ {10}}={{बाएं (0.98 \दाएं)}^{10}}=0.81707\); जो हमें बताता है कि ग्लास 10 के बाद 81.707% प्रकाश गुजरता है

बी। \({{a} _ {20}}={{बाएं (0.98 \दाएं)}^{20}}=~0.66761\); जो हमें बताता है कि ग्लास 20 के बाद 66.761% पास होता है

ज्यामितीय प्रगति के पहले \(n\) तत्वों का योग

ज्यामितीय प्रगति \({{a} _ {1}}, {{a} _ {1}} r, {{a} _ {1}} {{r} ^ {2}}, {{a} 1}}{{आर}^{3}}\)…।

जब \(r\ne 1\) पहले \(n\) तत्वों का योग होता है, योग:

\ ({{S} _ {n}} = {{a} _ {1}} + {{a} _ {1}} r + {{a} _ {1}} {{r} ^ {2}} +{{a} _ {1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a} _ {1}}{{r}^{n-1}}\)

से इसकी गणना की जा सकती है

\ ({{S} _ {n}} = {{a} _ {1}} \ frac {\ बाएँ (1- {{r} ^ {n}} \ दाएँ)} {1-r}, ~ r \n1\)

उदाहरण/व्यायाम 4. उदाहरण 2 से \({{S} _ {33}}\) की गणना करें।

समाधान

इस मामले में \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) और \(r=-4\)

आवेदन

\ ({{S} _ {n}} = {{a} _ {1}} \ frac {\ बाएँ (1- {{r} ^ {n}} \ दाएँ)} {1-r} \)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\बाएं(-4 \दाएं)}^{22}}} {1-\बाएं( -4 \दाएं)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\बाएं(-4 \दाएं)}^{22}}} {5}\)

\({{एस} _ {22}}=\frac{1-{{\बाएं (4 \दाएं)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{बाएं (4 \दाएं)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

उदाहरण/व्यायाम 5. मान लीजिए कि एक व्यक्ति अपने पालतू जानवर की एक तस्वीर अपलोड करता है और इसे अपने 3 दोस्तों के साथ एक इंटरनेट सोशल नेटवर्क पर साझा करता है, और प्रत्येक एक घंटे में उन्हें, तीन अन्य लोगों के साथ तस्वीर साझा करता है और फिर बाद वाला, एक और घंटे में, उनमें से प्रत्येक 3 अन्य लोगों के साथ तस्वीर साझा करता है लोग; और उसके बाद यह चलता रहता है; तस्वीर प्राप्त करने वाला प्रत्येक व्यक्ति इसे एक घंटे के भीतर 3 अन्य लोगों के साथ साझा करता है। 15 घंटे में कितने लोगों के पास पहले से ही फोटोग्राफ है?

समाधान

निम्न तालिका पहली गणना दिखाती है
समय वे लोग जो तस्वीर प्राप्त करते हैं वे लोग जिनके पास तस्वीर है
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

घंटे \(n\) में तस्वीर प्राप्त करने वाले लोगों की संख्या इसके बराबर है: \({{3}^{n}}\)

घंटे में पहले से ही फोटोग्राफ रखने वालों की संख्या के बराबर है:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

आवेदन

\ ({{S} _ {n}} = {{a} _ {1}} \ frac {\ बाएँ (1- {{r} ^ {n}} \ दाएँ)} {1-r} \)

\({{a} _ {1}}=3,\) \(r=3\) और \(n=15\) के साथ

जिससे:

\({{एस} _ {n}}=\frac{\बाएं (1-{{3}^{15}} \दाएं)}{1-3}=7174453\)

ज्यामितीय साधन

दिए गए दो नंबर \(a~\) और \(b,\) नंबर \({{a} _ {2}}, {{a} _ {3}}, \ ldots, {{a} _ {k) +1}}\) को \(k\) संख्याओं का ज्यामितीय माध्य कहा जाता है \(a~\) और \(b\); यदि अनुक्रम \(a,{{a} _ {2}}, {{a} _ {3}}, \ ldots, {{a} _ {k+1}}, b\) एक ज्यामितीय प्रगति है।

संख्याओं \(a~\) और \(b\) के ज्यामितीय माध्य \(k\) के मान जानने के लिए अंकगणितीय प्रगति के अनुपात को जानना पर्याप्त है, इसके लिए निम्नलिखित पर विचार किया जाना चाहिए:

\(a={{a} _ {1}}, {{a} _ {2}}, {{a} _ {3}}, \ ldots, {{a} _ {k+1}}, { {ए} _ {के + 2}} = बी, \)

ऊपर से हम संबंध स्थापित करते हैं:

\(बी=ए{{आर}^{के+1}}\)

\(d\) के लिए हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(बी=ए{{आर}^{के+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

उदाहरण/व्यायाम 6. संख्या -15 और 1875 के बीच 2 गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

समाधान

आवेदन करते समय

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(b=375,~a=-15\) और \(k=2~\) के साथ:

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(आर=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 ज्यामितीय साधन हैं:

\(75,-375\)

उदाहरण/अभ्यास 7. एक व्यक्ति ने पैसे का निवेश किया और 6 महीने के लिए हर महीने ब्याज प्राप्त किया और उसकी पूंजी में 10% की वृद्धि हुई। यह मानते हुए कि दर नहीं बदली, मासिक ब्याज दर क्या थी?

समाधान

मान लीजिए \(C\) निवेशित पूंजी है; अंतिम पूंजी \(1.1C\) है; समस्या को हल करने के लिए हमें 5 ज्यामितीय साधनों को सूत्र का प्रयोग करके रखना चाहिए:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(k=5,~b=1.1C\) और \(a=C.\) के साथ

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

प्राप्त मासिक दर \(1.6%\) थी