घातीय कार्य परिभाषा

निषेध स्ट्रिंग सिद्धांत / by admin / April 02, 2023

मार्को एंटोनियो रोड्रिगेज एंड्राडे
गणित के मास्टर, विज्ञान के डॉ

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन विभिन्न प्राकृतिक घटनाओं और सामाजिक और आर्थिक स्थितियों को मॉडल करता है, यही कारण है कि विभिन्न संदर्भों में एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शंस की पहचान करना महत्वपूर्ण है।

आइए याद रखें कि एक संख्या के लिए ${a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa$ परिभाषित है, सामान्य तौर पर हमारे पास किसी भी $n$ के लिए वह है ) प्राकृतिक संख्या:

मामले में $a \ne 0$, हमारे पास वह है: ${a^0} = 1,\;$ वास्तव में, जब $a \ne 0,$ यह संक्रिया करने के लिए समझ में आता है \ (\frac{a}{a} = 1;\) घातांकों के नियम को लागू करते समय, हमारे पास:

$\frac{a}{a} = 1$

${a^{1 – 1}} = 1$

${a^0} = 1.$

जब $a = 0$, पिछला तर्क समझ में नहीं आता है, इसलिए अभिव्यक्ति ${0^0},$ में गणितीय व्याख्या का अभाव है।

यदि $b > 0$ और यह सच है कि ${b^n} = a,$ यह कहा जाता है कि $b$ $a$ का nवां मूल है और आमतौर पर \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) या $b = \sqrt[n]{a}$ के रूप में दर्शाया गया है।

जब $a < 0$, कोई वास्तविक संख्या $b$ नहीं होती है जैसे कि ${b^2} = a;$ क्योंकि ${b^2} \ge 0;\;\ ) तो रूप की अभिव्यक्तियाँ \({a^{\frac{m}{n}}}}), निम्नलिखित बीजगणितीय व्यंजक में \(a < 0.$ के लिए विचार नहीं किया जाएगा: ${a^n}$ $a \ ) को आधार कहा जाता है, और \(n$ को एक्सपोनेंट कहा जाता है, ${a^n}$ को $a$ की शक्ति$\;n$ कहा जाता है या इसे $a$ की शक्ति $n,\;$se भी कहा जाता है निम्नलिखित कानूनों का पालन करें प्रतिपादकों में से:

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${a^n}{a^m} = {a^{n + m}}$	$\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n - m}}$	${\बाएं ({{a^n}} \दाएं)^m} = {a^{nm}} = {\बाएं ({{a^m}} \दाएं)^n}$
$\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}$	${a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}$	\({\लेफ्ट( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}})
${\लेफ्ट( {ab} \राइट)^n} = {a^n}{b^n}$	${\बाएं({{a^{\frac{1}{n}}}} \दाएं)^m} = {\बाएं( {{a^m}} \दाएं)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$	${a^0} = 1$ प्रत्येक $a \ne 0$ के लिए

घातीय कार्य का रूप है:

$f\बाएं( x \दाएं) = {a^x}$

जहाँ $a > 0$ एक स्थिरांक है और स्वतंत्र चर घातांक $x$ है।

चरघातांकी फलन का विश्लेषण करने के लिए, हम तीन स्थितियों पर विचार करेंगे

स्थिति 1 जब आधार $a = 1.$

इस स्थिति में, $a = 1,$ फलन $f\बाएँ ( x \दाएँ) = {a^x}$ एक स्थिर फलन है।

केस 2 जब आधार $a > 1$

इस मामले में, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

$x$ का मान
$एक्स <0$	$0 < {a^x} < 1$
$एक्स = 0$	${a^0} = 1$
\(0	\(1 < {a^x}
$एक्स = 1$	${a^x} = 1$
$एक्स > 1$	\(ए

फ़ंक्शन $f\बाएं ( x \दाएं) = {a^x}$ एक सख्ती से बढ़ता हुआ फ़ंक्शन है, यानी, अगर ${x_2} > {x_1}$, तो:

${a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}$

$f\बाएं( {{x_2}} \दाएं) > f\बाएं( {{x_1}} \दाएं)$

जब एक परिघटना को घातीय फलन के साथ $a > 1$ के साथ प्रतिरूपित किया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह घातीय वृद्धि प्रस्तुत करता है।

केस 2 जब आधार $a <1$.

$x$ का मान
$एक्स <0$	${a^x} > 1$
$एक्स = 0$	${a^0} = 1$
\(0	$0 < {a^x} < 1$
$एक्स = 0$	${a^x} = 1$
$एक्स > 1$	\(0 < {a^x}

जब $a < 1$, फलन $f\बाएं( x \दाएं) = {a^x}$ एक निश्चित रूप से घटता हुआ फलन है, अर्थात, यदि \({x_2} > {x_1}\ ), इसलिए:

\({a^{{x_2}}}

घातांक फलन के अनुप्रयोग

उदाहरण 1 जनसंख्या वृद्धि

हम प्रारंभिक जनसंख्या ${P_0}$ और जनसंख्या वृद्धि दर $r \ge 0$ के साथ निरूपित करेंगे, यदि जनसंख्या दर समय के साथ स्थिर रहती है; कार्यक्रम

$P\बाएं(t \दाएं) = {P_0}{\बाएं( {1 + r} \दाएं)^t};$

समय t पर जनसंख्या ज्ञात कीजिए।

व्यावहारिक उदाहरण 1

मेक्सिको की जनसंख्या, वर्ष 2021 में 126 मिलियन है और इसमें 1.1% की वार्षिक वृद्धि दर्ज की गई है, यदि इस वृद्धि को बनाए रखा जाता है, तो वर्ष 2031 में, वर्ष में मेक्सिको में कितनी जनसंख्या होगी 2021?

समाधान

इस स्थिति में ${P_o} = 126$ और $r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011$, इसलिए आपको इसका उपयोग करना चाहिए:

$P\बाएं(t \दाएं) = {P_0}{\बाएं( {1 + .0011} \दाएं)^t}$

निम्न तालिका परिणाम दिखाती है

वर्ष	बीता हुआ समय ($टी$)	गणना	जनसंख्या (मिलियन)
2021	0	$P\बाएं(t \दाएं) = 126{\बाएं( {1.0011} \दाएं)^0}$	126
2031	10	$P\बाएं(t \दाएं) = 126{\बाएं( {1.0011} \दाएं)^{10}}$	140.57
2051	30	$P\बाएं(t \दाएं) = 126{\बाएं( {1.0011} \दाएं)^{30}}$	174.95

उदाहरण 2 चक्रवृद्धि ब्याज की गणना

बैंक वार्षिक ब्याज दर प्रदान करते हैं, लेकिन वास्तविक दर इस बात पर निर्भर करती है कि आप इसे कितने महीनों के लिए निवेश करते हैं; उदाहरण के लिए, यदि आपको r% की वार्षिक ब्याज दर की पेशकश की जाती है, तो वास्तविक मासिक दर $\frac{r}{{12}}$% है, द्विमासिक दर है $\frac{r}{6}$%, त्रैमासिक $\frac{r}{4}$% है, त्रैमासिक $\frac{r}{3}$% है, और सेमेस्टर है $\frac{r}{2}$%.

व्यावहारिक उदाहरण 2

मान लीजिए कि आप एक बैंक में 10,000 रुपये का निवेश करते हैं और वे आपको निम्नलिखित वार्षिक ब्याज दरों की पेशकश करते हैं:

फिक्स्ड टर्म डिपॉजिट	वार्षिक दर	एक वर्ष में अवधि	वास्तविक दर	संचित धन $k$ महीनों में
दो महीने	0.55%	6	$\frac{{0.55\% }}{6} = 0.091667{\rm{\% }}$	$10000{\बाएं( {1 + 0.00091667} \दाएं)^{\frac{k}{2}}}$
तीन महीने	1.87%	4	$\frac{{1.87\% }}{4} = 0.4675{\rm{\% }}$	$10000{\बाएं( {1 + 0.00461667} \दाएं)^{\frac{k}{3}}}$
छह महीने	1.56%	2	$\frac{{1.56\%}}{4} = 0.78{\rm{\% }}$	$10000{\बाएं( {1 + 0.0078} \दाएं)^{\frac{k}{6}}}$

संख्या $e$, यूलर का स्थिर और निरंतर ब्याज।

अब मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रारंभिक पूंजी $C$ है और हम इसे एक निश्चित दर $r> 0$ पर निवेश करते हैं, और हम वर्ष को $n$ अवधियों में विभाजित करते हैं; एक वर्ष में संचित पूंजी के बराबर है:

$A = \;C{\बाएं( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}$

$n$ बढ़ने पर संचित पूंजी कैसे व्यवहार करती है, इसका विश्लेषण करने के लिए, हम एक वर्ष में संचित पूंजी को फिर से लिखेंगे:

$A = \;C{\बाएं( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}$$A = \;C{\बाएं( {1 + \frac{1}) {{\frac{n}{r}}} \दाएं)^{\बाएं( {\frac{n}{r}} \दाएं) r}},$

करने से $m = \frac{n}{r}$, हम प्राप्त करते हैं:

$A = C{\बायां( {1 + \frac{1}{m}} \दाएं)^{mr}}$$A = C{\बायां( {{{\बायां( {1 + $ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

जैसे $n$ बढ़ता है, वैसे ही $m = \frac{n}{r}.$

चूंकि $m = \frac{n}{r},$ अभिव्यक्ति को बढ़ाता है ${\बाएं( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}$ उस तक पहुंचता है जिसे कहा जाता है यूलर स्थिरांक या संख्या:

$ई \लगभग 2.718281828 \ldots ।$

यूलर स्थिरांक में परिमित या आवधिक दशमलव व्यंजक नहीं होता है।

हमारे पास निम्नलिखित अनुमान हैं

$C{\बाएं( {{{\बाएं( {1 + \frac{1}{m}} \दाएं)}^m}} \दाएं)^r} \लगभग C{e^r},$ $C{\बाएं( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \लगभग C{e^{rs}}.$

अभिव्यक्ति के लिए:

$ए = \;सी{ई^आर},$

हम इसकी दो तरह से व्याख्या कर सकते हैं:

1.- अधिकतम राशि के रूप में जो हम एक वर्ष में संचित कर सकते हैं जब हम वार्षिक दर $r.$ पर पूंजी $C,\;$ निवेश करते हैं।

2.- वह राशि जो हम जमा करेंगे, एक वर्ष में, यदि हमारी पूंजी को वार्षिक दर पर लगातार पुनर्निवेशित किया गया $r.$

$T\बाएं( s \दाएं) = \;C{e^{rs}},$

संचित राशि है यदि $s$ वर्षों को निरंतर ब्याज के साथ निवेश किया जाता है।

ठोस उदाहरण 3

अब हम ठोस उदाहरण 2 के एक हिस्से पर लौटेंगे, जहां द्विमासिक किश्तों में वार्षिक दर 0.55% है। पूंजी की गणना करें जो जमा होती है यदि प्रारंभिक पूंजी 10,000 है और आधे साल, दो साल, 28 महीने का पुनर्निवेश करती है।

$10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525$

जैसा कि नीचे दी गई तालिका से पता चलता है, $m = \frac{n}{r},$ का मान "छोटा" नहीं है और ऊपर दी गई तालिका इंगित करती है कि ${\बाएं ({1 + \frac{1}{1}{ m}} \right)^m}$ यूलर स्थिरांक के करीब है।

समय	अवधियों की संख्या ($k$)	संचित पूंजी, हजारों में, हर दो महीने में पुनर्निवेश की जाती है
आधा वर्ष	3	$10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^3} = 10.{\rm{\;}}027525$
दो साल	12	$10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557$
38 महीने	19	$10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^{19}} = 10.\;175612$

समय	वर्षों का समय ($s$)	जमा पूंजी, हजारों में, लगातार ब्याज के साथ निवेश करें
आधा वर्ष	$s = \frac{1}{2}$	$10{e^{0.0055\बाएं( {\frac{1}{2}} \दाएं)}} = 10.{\rm{\;}}027538$
दो साल	$एस = 2$	$10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^{0.0055\बाएं( 2 \दाएं)}} = 10110.{\rm{\;}}607$
38 महीने	$s = \frac{{19}}{6}$	$10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692$

उदाहरण 2 मूल्यह्रास

व्यावहारिक उदाहरण 1

एक कंप्यूटर प्रत्येक वर्ष 30% मूल्यह्रास करता है, यदि एक कंप्यूटर की कीमत $20,000 पेसो है, तो $t = 1,12,\;14,\;38$ महीनों के लिए कंप्यूटर की कीमत निर्धारित करें।

इस मामले में, किसी के पास है:

$P\बाएं(t \दाएं) = 20000{\rm{\;}}{\बाएं( {1 – 0.30} \दाएं)^t}$

वर्षों में $t$ के साथ, निम्न तालिका में $t$ को प्रतिस्थापित करने पर मिलता है

महीनों में समय	वर्षों में समय	गणना	अंकीय मूल्य
1	$\frac{1}{{12}}$	\(P\बाएं(t \दाएं) = 20000{\rm{\;}}{\बाएं( {1 – .30} \दाएं)^{\frac{1}{{12}}}}})	19414.289
12	1	$P\बाएं(t \दाएं) = 20000{\rm{\;}}{\बाएं( {1 – .30} \दाएं)^1}$	14000
14	$\frac{7}{6}$	\(P\बाएं(t \दाएं) = 20000{\rm{\;}}{\बाएं( {1 - .30} \दाएं)^{\frac{7}{6}}}}	13192.012
38	$\frac{{19}}{6}$	\(P\बाएं(t \दाएं) = 20000{\rm{\;}}{\बाएं( {1 - .30} \दाएं)^{\frac{7}{6}}}}	6464.0859

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टिप्पणियाँ

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n - m}}\)	\({\बाएं ({{a^n}} \दाएं)^m} = {a^{nm}} = {\बाएं ({{a^m}} \दाएं)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\लेफ्ट( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}})
\({\लेफ्ट( {ab} \राइट)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\बाएं({{a^{\frac{1}{n}}}} \दाएं)^m} = {\बाएं( {{a^m}} \दाएं)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) प्रत्येक \(a \ne 0\) के लिए

\(x\) का मान
\(एक्स <0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(एक्स = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0	\(1 < {a^x}
\(एक्स = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(एक्स > 1\)	\(ए

\(x\) का मान
\(एक्स <0\)	\({a^x} > 1\)
\(एक्स = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0	\(0 < {a^x} < 1\)
\(एक्स = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(एक्स > 1\)	\(0 < {a^x}

समय	वर्षों का समय (\(s\))	जमा पूंजी, हजारों में, लगातार ब्याज के साथ निवेश करें
आधा वर्ष	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\बाएं( {\frac{1}{2}} \दाएं)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
दो साल	\(एस = 2\)	\(10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^{0.0055\बाएं( 2 \दाएं)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 महीने	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

वर्ष	बीता हुआ समय (\(टी\))	गणना	जनसंख्या (मिलियन)
2021	0	\(P\बाएं(t \दाएं) = 126{\बाएं( {1.0011} \दाएं)^0}\)	126
2031	10	\(P\बाएं(t \दाएं) = 126{\बाएं( {1.0011} \दाएं)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\बाएं(t \दाएं) = 126{\बाएं( {1.0011} \दाएं)^{30}}\)	174.95

फिक्स्ड टर्म डिपॉजिट	वार्षिक दर	एक वर्ष में अवधि	वास्तविक दर	संचित धन \(k\) महीनों में
दो महीने	0.55%	6	\(\frac{{0.55\% }}{6} = 0.091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\बाएं( {1 + 0.00091667} \दाएं)^{\frac{k}{2}}}\)
तीन महीने	1.87%	4	\(\frac{{1.87\% }}{4} = 0.4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\बाएं( {1 + 0.00461667} \दाएं)^{\frac{k}{3}}}\)
छह महीने	1.56%	2	\(\frac{{1.56\%}}{4} = 0.78{\rm{\% }}\)	\(10000{\बाएं( {1 + 0.0078} \दाएं)^{\frac{k}{6}}}\)

समय	अवधियों की संख्या (\(k\))	संचित पूंजी, हजारों में, हर दो महीने में पुनर्निवेश की जाती है
आधा वर्ष	3	\(10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
दो साल	12	\(10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 महीने	19	\(10{\बाएं( {1.00091667} \दाएं)^{19}} = 10.\;175612\)

महीनों में समय	वर्षों में समय	गणना	अंकीय मूल्य
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\बाएं(t \दाएं) = 20000{\rm{\;}}{\बाएं( {1 – .30} \दाएं)^{\frac{1}{{12}}}}})	19414.289
12	1	\(P\बाएं(t \दाएं) = 20000{\rm{\;}}{\बाएं( {1 – .30} \दाएं)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\बाएं(t \दाएं) = 20000{\rm{\;}}{\बाएं( {1 - .30} \दाएं)^{\frac{7}{6}}}}	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\बाएं(t \दाएं) = 20000{\rm{\;}}{\बाएं( {1 - .30} \दाएं)^{\frac{7}{6}}}}	6464.0859