Definicija neeuklidske geometrije

U osnovi, neeuklidske geometrije su one koje proizlaze iz propitivanja tzv. Euklidov 5. postulat, stoga je bitna opća karakterizacija djela Euklida, koji je bio grčki matematičar i geometar, čiji je rad paradigmatičan za Geometrija, da se smatra jednim od njegovih osnivača. Sa sigurnošću se zna sigurnost koji je živio u gradu Aleksandriji, kulturnom žarištu antike, oko 300. godine pr. c.

Njegov rad Elementi počinje nizom “načela”, koji se sastoji od popisa od 23 definicije; slijedi 5 postulata, koji se odnose na figure posebno geometrijski; i 5 općih aksioma, zajedničkih drugim matematičkim disciplinama. Zatim, nakon načela, Euklid uvodi "propozicije" dvije vrste: probleme koji se odnose na

zgrada figura s pravilom i šestarom; i teoremi, koji se odnose na demonstraciju svojstava koja neki geometrijski likovi.

Euklidov peti postulat

On navodi da “Ako ravna crta koja pada na dvije druge ravne linije čini unutarnje kutove iste stranice manjim od dvije ravne, onda, ako se dva pravca neograničeno produžavaju, sastaju se na strani na kojoj su kutovi manji od dva ravno”. Da su kutovi pravi, tada bi takve linije, prema definiciji br. 23, bile paralelne ("Paralelni su pravci koji se, ako su u istoj ravnini i neograničeno produžavaju, ne susreću ni u jednom smjeru.”).

Ovaj postulat, složeniji od prethodnih, sam po sebi nije bio nedvojben: nije bilo očito da, produžavajući prave neograničeno, sijekle bi se na strani gdje su kutovi manji od dva prava kuta, jer to ne bi bilo moguće dokazati pomoću zgrada. Zatim je ostala otvorena mogućnost da se linije približavaju jedna drugoj na neodređeno vrijeme, a da se nikada ne sijeku.

Pokušaji dokazivanja petog postulata

Zbog toga se od antike do sredine 19. stoljeća nizao neuspjelih pokušaja dokazivanja petog postulata: dokaz je uvijek postignut; ali uvodeći neki drugi dodatni postulat (logički ekvivalentan petom), različit od Euklidovih. Odnosno, peti postulat nije mogao biti dokazan, već je zamijenjen ekvivalentnim.

Primjer za to je postulat Johna Playfaira (s. XVIII): “Jedna točka paralelna s tom linijom prolazi točkom izvan pravca koji je u istoj ravnini." (poznat kao "paralelni postulat”). Neeuklidske geometrije proizlaze upravo iz neuspjelih pokušaja dokazivanja petog postulata Euklidova sustava.

Saccherijev test apsurda

Godine 1733. talijanski matematičar Girolamo Saccheri pokušao je dokazati apsurdnost Euklidova petog postulata. Da bi to učinio, izgradio je četverokut (poznat kao "Saccherijev četverokut“, u kojem su jedan par kutova pravi kutovi) i naveo da je peti postulat ekvivalentan tvrdnji da je karakteristični kutovi (oni nasuprot paru pravih kutova) tog četverokuta također su pravi kutovi. onda su tri hipoteza moguće, međusobno isključive: da su dva karakteristična kuta prava, oštra ili tupa. Da bi se peti postulat dokazao apsurdom, bilo je potrebno dokazati (bez pribjegavanja petom postulirano) da hipoteze tupog i oštrog kuta impliciraju proturječnost i da su stoga lažno.

Saccheri je uspio dokazati da je hipoteza o tupom kutu kontradiktorna, ali nije uspio u slučaju oštrog kuta. Naprotiv, izveo je niz teorema koji su u skladu s euklidskom geometrijom i nespojiv s njom. Konačno je zaključio da, s obzirom na neobičnost ovih teorema, hipoteza mora biti pogrešna. Posljedično, vjerovao je da je peti postulat dokazao apsurdnim; međutim, ono što je učinio bilo je nehotice dokazati važan skup teorema neeuklidske geometrije.

“Istovremeno” otkriće neeuklidskih geometrija

Carl F. Gauss je u devetnaestom stoljeću prvi posumnjao da se peti postulat ne može dokazati iz ostala četiri (tj. da je neovisno) i u shvaćanju mogućnosti neeuklidske geometrije koja se temeljila na četiri euklidska postulata i na negaciji peti. Nikada nije objavio svoje otkriće: ovo se smatra slučajem istovremeno otkriće, jer je imao tri neovisna referenta (sam Gauss, János Bolyai i Nikolai Lobachevsky).

Poricanje da peti zakon Euklidskog implicira dvije mogućnosti (uzimajući ekvivalentnu formulaciju Playfaira): kroz točku izvan ravne linije, ili nema paralelnih prolaza, ili više od jednog paralelnog prolaza. Među neeuklidskim geometrijama nalazimo, na primjer, geometriju "imaginarni” Lobačevskog, kasnije poznatog kao “hiperboličke"- prema, "S obzirom na vanjsku točku pravca, kroz tu točku prolaze beskonačni pravci koji se sijeku, beskonačni pravci koji se ne sijeku i samo dva paralelna pravca.“, za razliku od jedinstvene euklidske paralele; ili eliptička geometrija Bernharda Riemanna, koja kaže da "Kroz točku izvan pravca ne prolazi paralela s tom pravom.”.

Primjene i implikacije otkrića

Trenutno je poznato da u lokalnom prostoru obje geometrije daju približne rezultate. Razlike se pojavljuju kada se fizički prostor opisuje jednom ili drugom geometrijom, s obzirom na velike udaljenosti. Iako se nastavljamo koristiti euklidskom geometrijom, budući da je ona ta koja najjednostavnije opisuje naš prostor na lokalnoj razini, otkriće neeuklidskih geometrija bio je odlučujući utoliko što je značio radikalnu transformaciju razumijevanja istina znanstvenim.

Do tada se smatralo da euklidska geometrija uistinu opisuje prostor. Prilikom dokazivanja mogućnosti opisivanja kroz drugu geometriju, s drugim postulatima, bilo je potrebno preispitati kriterije po kojima je bilo moguće pretpostaviti jedno ili drugo objašnjenje poput "pravi”.

Bibliografija

MARTINEZ LORCA, A. (1980) “Sokratova etika i njihov utjecaj na misao Occidental”, u Revista Baética: Estudios de Arte, Geografija i povijest, 3, 317-334. Sveučilište u Malagi.

Teme iz neeuklidske geometrije