Definicija kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija realne varijable čiji je oblik izražen.

\(f\lijevo( x \desno) = a{x^2} + bx + c\)

Gdje je varijabla \(x\), \(a, b\) i c su realne konstante, koje se nazivaju koeficijenti kvadratne funkcije s \(a \ne 0.\)

Tablica daje općenite primjere kvadratnih funkcija i situacije koje one mogu modelirati, kako bi se kasnije ilustrirala njihova izravna primjena iz stvarnih problema.

Kvadratna funkcija	Situacija koju možete modelirati
\(f\lijevo( x \desno) = {x^2}\)	Varijabla \(y\) je površina kvadrata čija stranica mjeri \(x\).
\(f\lijevo( x \desno) = \pi {x^2}\)	Varijabla \(y\) je površina kruga čiji je radijus \(x\).
\(f\lijevo( x \desno) = 100 – 4,9{x^2}\)	Varijabla \(y\) je visina objekta koji je ispušten na visini od 100, a \(x\) je proteklo vrijeme.
\(f\lijevo( x \desno) = 60\lijevo( {{\bf{sin}}45^\circ } \desno) x – 4,9{x^2}\)	Varijabla \(y\) je visina topovske kugle bačene pod kutom od 45° brzinom od 60 m/s, a \(x\) je proteklo vrijeme.

Opća formula i kvadratna funkcija

Ako je za \(x = \alpha \) kvadratna funkcija nula, tada se broj \(\alpha \) naziva korijenom kvadratne funkcije, da, \(\alpha \) je rješenje kvadratne jednadžbe

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Opća formula za rješavanje kvadratnih jednadžbi je da su korijeni kvadratne funkcije:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Iz navedenog se utvrđuje sljedeća veza između korijena i koeficijenata kvadratne funkcije:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Kroz istaknute proizvode uspostavlja se sljedeći identitet:

\(a{x^2} + bx + c = a\lijevo( {x – \alpha } \desno)\lijevo( {x – \beta } \desno)\)

Na sličan način kao što je utvrđeno u općoj formuli, utvrđeno je da se kvadratna funkcija može izraziti u obliku:

\(f\lijevo( x \desno) = a{\lijevo( {x – h} \desno)^2} + k\)

Uz \(h = – \frac{b}{{2a}}\) i \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Rješavanjem jednadžbe:

\(a{\lijevo( {x – h} \desno)^2} + k = 0\)

Dobiva se:

\(\lijevo| {x – h} \desno| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Iz gornjeg se može zaključiti da \(f\lijevo( x \desno) = a{\lijevo( {x – h} \desno)^2} + k\), samo ako su konstante \(k\) i \(a\) su od suprotnih predznaka, ova kvadratna funkcija ima realne korijene, koji su: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Ako konstante \(k\) i \(a\) imaju isti predznak onda kvadratna funkcija nema realne korijene.

Kada je \(k = 0,\;\;\)kvadratna funkcija ima samo jedan korijen.

Primjeri primijenjeni na stvarni život

Primjer primjene 1: Ekonomija

Škola želi organizirati nogometni turnir na kojem svaka momčad igra protiv svake druge momčadi samo jednom. Postoji proračun od 15.600 USD za troškove arbitraže, ako je cijena arbitraže 200 USD po utakmici. Koliko ekipa se može prijaviti za turnir?

Izjava problema: Moramo pronaći funkciju koja izračunava broj podudaranja kada imamo \(n\) timova da ih prebrojimo, pretpostavit ćemo da tim 1 igra prvi sa svim ostalima, to jest \(n – 1\) šibice. Momčad 2 sada bi igrala sa svim ostalima, odnosno s \(n – 2\), budući da će već igrati s ekipom 1. Tim 3 će već igrati s timovima 1 i 2, tako da će morati igrati s n-3 tima.

S gornjim obrazloženjem dolazimo do:

\(f\lijevo( n \desno) = n – 1 + n – 2 + \ltočke + 2 + 1\)

\(f\lijevo( n \desno) = \frac{{n\lijevo( {n – 1} \desno)}}{2}\)

Troškovna funkcija je:

\(C\lijevo( n \desno) = 200f\lijevo( n \desno) = 100n\lijevo( {n – 1} \desno)\)

S proračunom od 15.600 USD, imamo jednadžbu:

\(100n\lijevo( {n – 1} \desno) = 15600\)

rješenje jednadžbe

\(100n\lijevo( {n – 1} \desno) = 15600\) Početna situacija
\(n\lijevo( {n – 1} \desno) = 156\) Podijelite svaku stranu jednadžbe sa 100
\({n^2} – n – 156 = \) Dodajte \( – 156\) svakoj strani jednadžbe
\(\lijevo( {n – 13} \desno)\lijevo( {n + 12} \desno) = 0\) Imamo \(\lijevo( { – 13} \desno)\lijevo( {12} \desno ) = – 156\) i \( – 13 + 12 = – 1\)
Bilo je faktorizirano.
Rješenja jednadžbe \(n = – 12,\;13\)
Odgovor: Budžet je dovoljan za prijavu 13 ekipa.

Primjer primjene 2: Ekonomija

Autobusna kompanija gradskog prijevoza primijetila je da u osmosatnom radnom danu svaki njihov autobus preveze u prosjeku tisuću putnika. Da biste bili u poziciji dati svojim radnicima povišicu, morat ćete povećati svoju cijenu karte, koja trenutno iznosi 5 USD; Ekonomist je izračunao da će za svaki pezos za koji cijena karte poraste, svaki kamion izgubiti u prosjeku 40 putnika svaki dan. Tvrtka je izračunala da, kako bi pokrila povećanje plaće, mora dobiti dodatnih 760 dolara po kamionu svaki dan. Koliko mora porasti cijena karte?

Izjava problema: Neka \(x\) bude iznos pezosa za koji će karta porasti, za što je \(5 + x\) nova cijena karte. S ovim istim povećanjem, svaki će kamion u prosjeku prevoziti \(1000 – 40x\) putnika dnevno.

Konačno, prihod po kamionu je:

\(I\lijevo( x \desno) = \lijevo( {5 + x} \desno)\lijevo( {1000 – 40x} \desno) = – 40\lijevo( {x + 5} \desno)\lijevo( {x – 25} \desno)\)

Kako bi pokrio povećanje plaće, svaki autobus mora prikupiti: \(1000\lijevo( 5 \desno) + 760 = 5760\)

Konačno imamo jednadžbu:

\( – 40\lijevo( {x + 5} \desno)\lijevo( {x – 25} \desno) = 5760\)

rješenje jednadžbe
\( – 40\lijevo( {x + 5} \desno)\lijevo( {x – 25} \desno) = 5760\) Početna situacija
\(\lijevo( {x + 5} \desno)\lijevo( {x – 25} \desno) = – 144\) Podijelite sa \( – 40\) svaku stranu jednadžbe
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Razvijen je izvanredan proizvod
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 je dodano svakom
\(\lijevo( {n – 19} \desno)\lijevo( {n – 1} \desno) = 0\) Imamo \(\lijevo( { – 19} \desno)\lijevo( { – 1} \ desno) = 19\) i \( – 19 – 1 = – 20\)
faktorizirano
Rješenja jednadžbe \(n = 1,19\)
Odgovor: Cijena karte može porasti za 1 dolar ili 19 pezosa.

Primjer primjene 3: Ekonomija

Prodavaonica kruha proda u prosjeku 1200 žemljica tjedno za 6 dolara po komadu. Jednog dana odlučio je povisiti cijenu na 9 dolara po komadu; sad joj se prodaja smanjila: u prosjeku proda samo 750 peciva tjedno. Kolika bi trebala biti cijena svake lepinje da zarada outleta bude što veća? Pretpostavimo da postoji linearna veza između potražnje i cijene.

Izjava problema: Pretpostavljamo da postoji linearni odnos između potražnje D i cijene \(x,\).

\(D = mx + b\)

Kada je \(x = 6;D = 1200;\;\) što generira jednadžbu:

\(1200 = 6m + b\)

Kada je \(x = 9;D = 750;\;\) lo i dobije se jednadžba:

\(750 = 9m + b\)

Rješavanjem sustava jednadžbi odnos između potražnje i cijene je:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\lijevo( {x – 14} \desno)\)

Prihod je jednak

\(I\lijevo( x \desno) = Dx = – 150x\lijevo( {x – 14} \desno)\)

Riješenje

Graf dohotka u obliku parabole koja se otvara prema dolje i svoju maksimalnu vrijednost postiže na vrhu na koji se može pronaći usrednjavanjem korijena kvadratne funkcije koja modelira prihod. Korijeni su \(\alfa = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\lijevo( h \desno) = – 150\lijevo( 7 \desno)\lijevo( {7 – 14} \desno) = 7350\)

Odgovor

Maksimalni prihod je 7350$ i postiže se cijenom od 7$; prodajući u prosjeku 1050 peciva tjedno.

Primjer primjene 4: Ekonomija

Trošak proizvodnje \(n\) stolica u jednom danu može se izračunati pomoću kvadratne funkcije:

\(C\lijevo( n \desno) = {n^2} – 200n + 13000\)

Odredite minimalni trošak koji se može postići.

Iskaz problema

Grafikon \(C\lijevo( n \desno)\) je parabola koja se otvara prema gore i dosegnut će svoju minimalnu točku u \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ lijevo( { – 200} \desno)}}{{2\lijevo( 1 \desno)}} = 100\)

\(C\lijevo( {100} \desno) = {\lijevo( {100} \desno)^2} – 200\lijevo( {100} \desno) + 13000 = 3000\)

Odgovor

Najmanji mogući trošak iznosi 3000$ i postiže se proizvodnjom 100 stolica.

Primjer primjene 5: Geometrija

Romb ima površinu 21 cm2; Ako je zbroj duljina njegovih dijagonala 17 cm, kolika je duljina svake dijagonale romba?

Izjava problema: Površina romba se izračunava pomoću:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Uz \(D\) i \(d\) duljine njegovih dijagonala, također je poznato:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Zamjenom dobivate:

\(A = \frac{{\lijevo( {17 – d} \desno) d}}{2}\)

Napokon dobivamo jednadžbu

\(\frac{{\lijevo( {17 – d} \desno) d}}{2} = 21\)

Riješenje
\(\frac{{\lijevo( {17 – d} \desno) d}}{2} = 21\) Početna situacija
\(\lijevo( {17 – d} \desno) d = 42\) Pomnožite sa \( – 40\) svaku stranu jednadžbe
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Proizvod je razvijen.
\(\lijevo( {d – 14} \desno)\lijevo( {d – 3} \desno) = 0\) Imamo \(\lijevo( { – 14} \desno)\lijevo( { – 3} \ desno) = 42\) i \( – 14 – 3 = – 17\)
faktorizirano
Rješenja jednadžbe \(d = 3,14\)
Odgovor:

Dijagonale romba su 14 cm i 3 cm.

Primjer primjene 6: Geometrija

Poželjno je izgraditi pravokutni kokošinjac od 140 m2, koristeći prednost prilično dugačke ograde koja će činiti dno kokošinjca. Ostale tri strane bit će izgrađene s 34 dužna metra žičane mreže, kolika bi trebala biti duljina i širina kokošinjca da se koristi ukupna mreža?

Kolika je najveća površina pod istim uvjetima koja se može ograditi istom mrežom?

Izjava problema: Prema dijagramu, površina je jednaka:

\(A\lijevo( x \desno) = x\lijevo( {34 – 2x} \desno) = 2x\lijevo( {17 – x} \desno)\)

Gdje je \(x\) duljina stranice okomite na ogradu.

Da biste znali mjere pravokutnika tako da ima površinu od 140 m2, dovoljno je riješiti jednadžbu

\(2x\lijevo( {17 – x} \desno) = 140\)

Budući da je graf \(A\lijevo( x \desno)\) parabola koja se otvara prema dolje za izračunavanje maksimalne vrijednosti površine, dovoljno je izračunati vrh parabole.

Odgovori
Mjere pravokutnika površine 140 m2
Duljina stranice okomite na ogradu

\(x\) Duljina stranice paralelne s ogradom

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Prva koordinata vrha je \(h = \frac{{17}}{2}\) i

\(A\lijevo( h \desno) = \frac{{289}}{2}\)

Površina je najveća kada okomita stranica mjeri \(\frac{{17}}{2}\;\)m, a paralelna stranica mjeri 17m, ona mjeri 17m, vrijednost maksimalne dosegnute površine je \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Graf kvadratne funkcije

S geometrijskog gledišta, korijeni su točke u kojima graf funkcije siječe os \(x\).

Iz izraza

\(f\lijevo( x \desno) = a{\lijevo( {x – h} \desno)^2} + k,\)

Utvrdit ćemo opći oblik grafa kvadratne funkcije.

Prvi slučaj \(a > 0\) i \(k > 0\)

\(f\lijevo( x \desno) = a{\lijevo( {x – h} \desno)^2} + k\)

\(x\)	\(f\lijevo( x \desno)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

U ovom slučaju graf zadovoljava:

Simetrično: S osi simetrije \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\lijevo( {h – s} \desno) = f\lijevo( {h + s} \desno)\)

Nalazi se iznad osi \(x\) i ne siječe je. To jest, \(f\lijevo( x \desno) > 0\) nema prave korijene.

Najniža točka na grafikonu je u točki \(\lijevo( {h, k} \desno)\). To je \(f\lijevo( x \desno) \ge f\lijevo( h \desno) = k\)

Drugi slučaj \(a < 0\) i \(k < 0\)

\(f\lijevo( x \desno) = a{\lijevo( {x – h} \desno)^2} + k\)

\(x\)	\(f\lijevo( x \desno)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

U ovom slučaju graf zadovoljava:

Simetrično: S osi simetrije \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\lijevo( {h – s} \desno) = f\lijevo( {h + s} \desno)\)

Nalazi se ispod osi \(x\) i ne siječe je. To jest, \(f\lijevo( x \desno) < 0\) nema prave korijene. Najviša točka na grafikonu je u točki \(\lijevo( {h, k} \desno)\). To je \(f\lijevo( x \desno) \le f\lijevo( h \desno) = k\) Treći slučaj \(a > 0\) i \(k \le 0\).

Ovaj slučaj je sličan prvom slučaju, razlika je u tome što sada imamo jedan pravi korijen (kada je \(k = 0\) ) ili dva prava korijena.

U ovom slučaju graf zadovoljava:

Simetrično: S osi simetrije \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\lijevo( {h – s} \desno) = f\lijevo( {h + s} \desno)\)

Sječe os \(x\), odnosno ima barem jedan pravi korijen.

Najniža točka na grafikonu je u točki \(\lijevo( {h, k} \desno)\). To je \(f\lijevo( x \desno) \ge f\lijevo( h \desno) = k\)

Četvrti slučaj \(a < 0\) i \(k \ge 0\). Ovaj slučaj je sličan drugom slučaju, razlika je u tome što sada imamo jedan pravi korijen (kada je \(k = 0\) ) ili dva prava korijena. U ovom slučaju graf zadovoljava:

Simetrično: S osi simetrije \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To je \(f\lijevo( {h – s} \desno) = f\lijevo( {h + s} \desno)\)

Najniža točka na grafikonu je u točki \(\lijevo( {h, k} \desno)\). To je \(f\lijevo( x \desno) \le f\lijevo( h \desno) = k\)

Graf kvadratne funkcije naziva se parabola, a njeni elementi koje treba istaknuti su os simetrije, točke u kojima se ona siječe na os \(x\) i vrh, koji je točka na grafu funkcije gdje ona doseže svoju najnižu ili najvišu točku, ovisno o slučaj.

Na temelju provedene analize možemo konstatirati:

Parabola povezana s kvadratnom funkcijom \(f\lijevo( x \desno) = a{x^2} + bx + c\) ima vrh u \(\lijevo( {h, k} \desno)\) gdje :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\lijevo( h \desno)\)

primjeri

Kvadratna funkcija \(y = {x^2}\)	važni elementi
Vrh parabole	\(\lijevo( {0,0} \desno)\)
Os simetrije parabole	\(x = 0\)
Presjeci s osi \(x\).	\(\lijevo( {0,0} \desno)\)

Kvadratna funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\lijevo( {x – 2} \desno)^2}\)	važni elementi
Vrh parabole	\(\lijevo( {2,0} \desno)\)
Os simetrije parabole	\(x = 2\)
Presjeci s osi \(x\).	\(\lijevo( {2,0} \desno)\)

Kvadratna funkcija \(y = {\lijevo( {x + 2} \desno)^2} – 4\)	važni elementi
Vrh parabole	\(\lijevo( { – 2, – 4} \desno)\)
Os simetrije parabole	\(x = – 2\)
Presjeci s osi \(x\).	\(\lijevo( { – 4,0} \desno);\lijevo( {0,0} \desno)\)

Kvadratna funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\lijevo( {x – 9} \desno)^2} + 8\)	važni elementi
Vrh parabole	\(\lijevo( {9,8} \desno)\)
Os simetrije parabole	\(x = 9\)
Presjeci s osi \(x\).	\(\lijevo( {5,0} \desno);\lijevo( {13,0} \desno)\)

Kvadratna funkcija \(y = {x^2} + 1\)	važni elementi
Vrh parabole	\(\lijevo( {0,1} \desno)\)
Os simetrije parabole	\(x = 0\)
Presjeci s osi \(x\).	Nema

Kvadratna funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\lijevo( {x – 2} \desno)^2} – 1\)	važni elementi
Vrh parabole	\(\lijevo( {2, – 1} \desno)\)
Os simetrije parabole	\(x = 2\)
Presjeci s osi \(x\).	Nema

Ako postoje stvarni korijeni kvadratne funkcije, iz njih možemo iscrtati pridruženu parabolu. Pretpostavimo da je \(f\lijevo( x \desno) = a\lijevo( {x – \alpha } \desno)\lijevo( {x – \beta } \desno)\)

Za to je potrebno uzeti u obzir sljedeće:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Kao

\(k = f\lijevo( h \desno)\)

\(k = f\lijevo( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \desno)\)

\(k = a\lijevo( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \desno)\lijevo( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \desno)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\lijevo( {\alpha – \beta } \desno)^2}\)

primjeri

Skicirajte graf kvadratne funkcije \(f\lijevo( x \desno) = \frac{1}{4}\lijevo( {x – 3} \desno)\lijevo( {x + 6} \desno )\)

Riješenje

Korijeni su \(\alpha = 3\;\) i \(\beta = – 6\); tada \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\lijevo( { – \frac{3}{2}} \desno) = 2\lijevo( { – \frac{3}{2} – 3} \desno)\lijevo( { – \frac {3}{2} + 6} \desno) = \frac{1}{4}\lijevo( { – \frac{9}{2}} \desno)\lijevo( {\frac{9}{2}} \desno) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Tako možemo napraviti sljedeću tablicu

\(f\lijevo( x \desno) = 2\lijevo( {x – 3} \desno)\lijevo( {x + 6} \desno)\)	važni elementi
Vrh parabole	\(\lijevo( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \desno)\)
Os simetrije parabole	\(x = – \frac{{{81}}{2}\)
Presjeci s osi \(x\).	\(\lijevo( { – 6,0} \desno)\;,\;\lijevo( {3,0} \desno)\)

Za skiciranje grafa funkcije:

\(f\lijevo( x \desno) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Koristit ćemo iste ideje koje smo već koristili; Za ovo ćemo prvo odrediti vrh.

U ovom slučaju, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Budući da \(a > 0\), parabola "će se otvoriti i \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Zatim ćemo izračunati \(k:\)

\(k = f\lijevo( h \desno) = f\lijevo( 3 \desno) = 3{\lijevo( 3 \desno)^2} – 18\lijevo( 3 \desno) + 4 = – 23\)

Vrh parabole je na \(\lijevo( {3, – 23} \desno)\), a budući da se otvara prema gore, tada će parabola presijecati os \(x\;\), a njezina os simetrije je \ (x = 3\).

Sada razmotrimo kvadratnu funkciju

\(f\lijevo( x \desno) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

U ovom slučaju, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Budući da \(a < 0\), parabola će se "otvoriti" prema dolje i \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \desno)\lijevo( { - 5} \desno)}}} \desno) = 1.\) A Zatim ćemo izračunati \(k:\) \(k = f\lijevo( h \desno) = f\lijevo( 1 \desno) = - 5{\lijevo( 1 \desno)^2} + 10\lijevo( 1 \ desno) - 9 = - 4\) Vrh od parabola je na \(\lijevo( {1, - 4} \desno)\) i budući da se otvara prema dolje, tada parabola neće presijecati os \(x\;\), a njezina os simetrije je \(x = 1.\)