Definicija aritmetičke progresije

Niz brojeva \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​naziva se aritmetička progresija ako je razlika između dva uzastopna broja jednaka istom broju \(d\), to je da:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Broj \(d\) naziva se razlika aritmetičke progresije.

Element \({a_1}\) naziva se prvim elementom aritmetičkog niza.

Elementi aritmetičke progresije mogu se izraziti preko prvog elementa i njegove razlike, tj.

\({a_1},{a_1} + d, {a_1} + 2d, {a_1} + 3d\)

Oni su prva četiri elementa aritmetičke progresije; Općenito, \(k – \)th element se izražava na sljedeći način:

\({a_k} = {a_1} + \lijevo( {k – 1} \desno) d\)

Iz gornjeg izraza dobivamo:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \lijevo( {k – 1} \desno) d – \lijevo( {{a_1} + \lijevo( {l – 1} \desno) d} \desno )\)

\({a_k} – {a_l} = \lijevo( {k – l} \desno) d\)

Gornji izraz je ekvivalentan sljedećem:

\({a_k} = {a_l} + \lijevo( {k – l} \desno) d\)

Primjeri primijenjeni za aritmetičku progresiju

1. Pronađite razliku aritmetičke progresije: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​i pronađite elemente \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Riješenje

Budući da je \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), možemo zaključiti da je razlika:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \lijevo( {20 – 1} \desno) d = 3 + 19\lijevo( 5 \desno) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \lijevo( {99 – 1} \desno) d = 3 + 98\lijevo( 5 \desno) = 493\)

2. U aritmetičkoj progresiji imamo: \({a_{17}} = 20\;\)i \({a_{29}} = – 130\), odredite razliku aritmetičke progresije i napišite prvih 5 elemenata.

Riješenje

Nošenje

\({a_k} – {a_l} = \lijevo( {k – l} \desno) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \lijevo( {29 – 17} \desno) d\)

\( – 130 – 20 = \lijevo( {12} \desno) d\)

\( – 150 = \lijevo( {12} \desno) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{{25}}{2}\)

Pronaći prvih 5 elemenata; izračunat ćemo \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \lijevo( {k – 1} \desno) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \lijevo( {17 – 1} \desno)\lijevo( { – \frac{{25}}{2}} \desno)\)

\(20 = {a_1} + \lijevo( {16} \desno)\lijevo( { – \frac{{25}}{2}} \desno)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Prvih 5 elemenata su:

\(220,220 + \lijevo( { – \frac{{25}}{2}} \desno),220 + 2\lijevo( { – \frac{{25}}{2}} \desno),220 + 3 \lijevo( { – \frac{{25}}{2}} \desno),220 + 4\lijevo( { – \frac{{25}}{2}} \desno)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Poligonalni brojevi i zbroj prvih \(n\) elemenata aritmetičke progresije

trokutasti brojevi

Trokutasti brojevi \({T_n}\;\) formirani su iz aritmetičke progresije: \(1,2,3,4 \ltočke \); na sljedeći način.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

kvadratni brojevi

Kvadratni brojevi \({C_n}\;\) formirani su iz aritmetičke progresije: \(1,3,5,7 \ltočaka \); kako slijedi

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

peterokutni brojevi

Kvadratni brojevi \({P_n}\;\) formirani su iz aritmetičke progresije: \(1,3,5,7 \ltočaka \); kako slijedi

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Zatim ćemo pokazati formulu za pronalaženje zbroja prvih \(n\) elemenata aritmetičke progresije.

S obzirom na aritmetičku progresiju, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \lijevo( {n – 1} \desno) d\). Za izračun zbroja \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) možete koristiti formulu:

\({S_n} = \frac{{n\lijevo( {{a_1} + {a_n}} \desno)}}{2}\)

što je ekvivalentno

\({S_n} = \frac{{n\lijevo( {2{a_1} + \lijevo( {n – 1} \desno) d} \desno)}}{2}\)

Primjenom prethodne formule dobivaju se formule za izračun trokutnih, kvadratnih i peterokutnih brojeva; koji su prikazani u sljedećoj tabeli.

poligonalni broj	\({a_1}\)	\(d\)	Formula
Trokutasti \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\lijevo( {n + 1} \desno)}}{2}\)
Kvadrat \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Peterokutni \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\lijevo( {3n – 1} \desno)}}{2}\)

Primjer na poligonalnim brojevima

3. Iz primjera 2 izračunajte \({S_{33}}\).

Riješenje

U ovom slučaju \({a_1} = 200\) i \(d = – \frac{{25}}{2}\)

primjenom

\({S_n} = \frac{{n\lijevo( {2{a_1} + \lijevo( {n – 1} \desno) d} \desno)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\lijevo( {2\lijevo( {200} \desno) + \lijevo( {33 – 1} \desno)\lijevo( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\lijevo( {400 + 16\lijevo( { – 25} \desno)} \desno) = 17\lijevo( 0 \desno) = 0\)

aritmetičke sredine

Dana su dva broja \(a\;\) i \(b,\) brojevi \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) nazivaju se \(k\) znači aritmetički brojevi \(a\;\) i \(b\); ako je niz \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) aritmetička progresija.

Da bismo znali vrijednosti \(k\) aritmetičkih sredina brojeva \(a\;\) i \(b\), dovoljno je znati razliku aritmetičke progresije, za to mora biti sljedeće smatra se:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Iz navedenog uspostavljamo odnos:

\(b = a + \lijevo( {k + 2 – 1} \desno) d\)

Rješavajući za \(d\), dobivamo:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

primjeri

4. Nađite 7 aritmetičkih sredina između brojeva -5 i 25.

Riješenje

Prilikom prijave

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

s \(b = 25,\;a = – 5\) i \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \lijevo( { – 5} \desno)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 aritmetičkih sredina su:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{{85}}{4}\)

9. Jedna je osoba dala 2000 dolara kao predujam za kupnju hladnjaka, a ostatak platila svojom kreditnom karticom 18 mjeseci bez kamata. Mjesečno mora plaćati 550 dolara kako bi podmirio dug koji je stekao da bi platio svoj hladnjak.

do. Kolika je cijena hladnjaka?

b. Ako ste platili ostatak tijekom 12 mjeseci bez kamata, kolika bi bila mjesečna rata?

Riješenje

do. U ovom slučaju:

\({a_{19}} = 2000 + 18\lijevo( {550} \desno)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Između brojeva 2000 i 11900 moramo pronaći 11 aritmetičkih sredina za koje:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Zadan je niz \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) pronađite sljedeća 3 elementa i opći izraz elementa \(n\).

Riješenje

Dotični niz nije aritmetička progresija, budući da je \(22 – 7 \ne 45 – 22\), ali možemo oblikovati niz s razlikama dvaju uzastopnih elemenata, a sljedeća tablica prikazuje rezultati:

Elementi niza \({b_n}\)	Niz \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Treći stupac gornje tablice govori nam da niz \(15,\;23,31,39,\;47, \ltočke .\); je aritmetički niz čija je razlika \(d = 8\).

Zatim ćemo napisati elemente niza \({b_n}\) u smislu niza \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Općenito imate:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ltočke + {c_n}\;\)

Prilikom prijave

\({S_n} = \frac{{n\lijevo( {2{c_1} + \lijevo( {n – 1} \desno) d} \desno)}}{2}\)

S \({c_1} = 7\) i \(d = 8,\) dobivamo:

\({b_n} = \frac{{n\lijevo( {14 + \lijevo( {n – 1} \desno) 8} \desno)}}{2}\)

\({b_n} = n\lijevo( {7 + 4\lijevo( {n – 1} \desno)} \desno)\)

\({b_n} = n\lijevo( {4n + 3} \desno)\)

Primjenom prethodne formule: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)