Primjer punog prostora

Matematička analiza grana je matematičkih znanosti koja se bavi proučavanjem puni prostor, koja je vrsta metričkog prostora.

Metrički prostor čine parovi točaka i funkcija udaljenost između njih; u tim je prostorima moguće definirati Cauchyjev niz koji nastaje na sve manjim udaljenostima između ove dvije točke. Kada u metričkom prostoru više nije moguće pronaći manju udaljenost u nizu, tada imamo a puni prostor. Zatvoreni numerički skupovi, odnosno oni u kojima postoji ograničenje, cjeloviti su prostori.

Primjer punog prostora:

Skup prirodnih brojeva, uključujući 0, potpuni je prostor jer je taj skup zatvoren do kraja 0. Prikaz ovog skupa brojeva je N= [0, 1, 2,... n}.

Uzmimo bilo koje dvije točke između dva elementa ovog skupa, na primjer 4 i 8, predstavljena na sljedeći način p = (4, 8), funkcija udaljenosti između dviju točaka jednaka je 4, Cauchyjev niz dat je nizom {4, 3, 2, 1, 0} koji konvergira na 0.

Drugi je primjer skup pozitivnih realnih brojeva formiranih s {0} koji je predstavljen kao

I⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, budući da je s obzirom na dvije točke u ovom prostoru Cauchyjev slijed konvergiran kada je udaljenost 0

Skup racionalnih brojeva nije cjelovit prostor, budući da udaljenost 0 (broj 0 kao broj ne znači postoji u ovom skupu) što čini Cauchyjev niz ni u jednom trenutku ne konvergentnim postavljen.

Bilo koji zatvoreni interval prirodnih brojeva potpuni je prostor.