A nemeuklideszi geometria definíciója

Alapvetően a nem euklideszi geometriák azok, amelyek az ún Eukleidész 5. posztulátumaEzért elengedhetetlen Eukleidész munkásságának általános jellemzése, aki görög matematikus és geométer volt, akinek munkája paradigmatikus a Geometria, hogy egyik alapítójának tekintsék. Biztosan ismert Biztonság aki az ókor kulturális központjának számító Alexandria városában élt Kr.e. 300 körül. c.

Munkája Elemek egy sor „elvvel” kezdődik, amely 23 definíciót tartalmazó listából áll; 5 posztulátum követi, utalva figurák kifejezetten geometriai; és 5 általános axióma, amelyek más matematikai tudományágakban is előfordulnak. Ezután az alapelvek után Eukleidész bemutatja a kétféle „propozíciót”: problémákat, amelyekre hivatkozunk

épület figurák szabállyal és iránytűvel; és tételek, utalva azon tulajdonságok bemutatására, amelyeket egyesek geometriai alakzatok.

Eukleidész ötödik posztulátuma

Kijelenti, hogy „Ha egy egyenes, amely két másik egyenesre esik, ugyanazon oldal belső szögei kisebbek, mint két egyenes, akkor, ha a két vonal korlátlanul meghosszabbodik, azon az oldalon találkoznak, amelyen a szögek kisebbek, mint kettő egyenes”. Ha a szögek helyesek lennének, akkor az ilyen egyenesek a 23-as definíció szerint párhuzamosak lennének ("A párhuzamos egyenesek olyan egyenesek, amelyek ha egy síkban vannak és korlátlanul meghosszabbodnak, akkor semmilyen irányban nem találkoznak.”).

Ez a korábbiaknál összetettebb posztulátum önmagában nem volt kétségtelen: nem volt nyilvánvaló, hogy a vonalak korlátlanul, azon az oldalon metszik egymást, ahol a szögek kisebbek, mint két derékszög, mivel ezt nem lehet igazolni épület. Ezután nyitva maradt annak lehetősége, hogy a vonalak a végtelenségig közeledtek egymáshoz anélkül, hogy valaha is keresztezik egymást.

Az ötödik posztulátum bizonyítására tett kísérlet

Ez az oka annak, hogy az ókortól a 19. század közepéig számos sikertelen kísérlet történt az ötödik posztulátum bizonyítására: a bizonyítékot mindig sikerült elérni; de bevezetünk néhány további (logikailag az ötödiknek megfelelő) posztulátumot, amely különbözik Eukleidészétől. Vagyis az ötödik posztulátumot nem lehetett bizonyítani, hanem egy egyenértékűre cserélték.

Példa erre John Playfair posztulátuma (s. XVIII): „Az ezzel az egyenessel párhuzamos egyetlen pont átmegy egy olyan ponton, amely egy olyan egyenesen kívül van, amely ugyanabban a síkban van." (ismert, mint "párhuzamos posztulátum”). A nem euklideszi geometriák éppen az euklideszi rendszer ötödik posztulátumának bizonyítására tett kudarcos kísérletekből fakadnak.

Saccheri abszurditás tesztje

1733-ban Girolamo Saccheri olasz matematikus megpróbálta bebizonyítani Eukleidész ötödik posztulátumának abszurditását. Ehhez épített egy négyszöget (amit "Saccheri négyszöge”, amelyben az egyik szögpár derékszög), és kijelentette, hogy az ötödik posztulátum egyenértékű azzal a tétellel, hogy a jellemző szögek (a derékszögpárral szemben lévők) ennek a négyszögnek is derékszögek. akkor három van hipotézis lehetséges, egymást kizáró: hogy a két jellemző szög derékszögű, hegyes vagy tompaszög. Az ötödik posztulátum abszurd módon való bizonyításához bizonyítani kellett (anélkül, hogy az ötödikhez folyamodnánk feltételezték), hogy a tompaszög és hegyesszög hipotézisei ellentmondást jelentenek, és ezért hamis.

Saccherinek sikerült bebizonyítania, hogy a tompaszög hipotézis ellentmondásos, de a hegyesszög esetében nem sikerült. Éppen ellenkezőleg, egy sor tételt levezetett, amelyek összhangban vannak az euklideszi geometriával és összeegyeztethetetlenek vele. Végül arra a következtetésre jutott, hogy e tételek furcsasága miatt a hipotézisnek hamisnak kell lennie. Következésképpen úgy vélte, hogy az ötödik posztulátumot abszurdnak bizonyította; mindazonáltal, amit tett, az volt, hogy akaratlanul is bebizonyította a nem-euklideszi geometria egy fontos tételét.

A nem euklideszi geometriák „egyidejű” felfedezése

Carl F. A tizenkilencedik században Gauss gyanította először, hogy az ötödik posztulátum nem igazolható a másik négyből (vagyis önállóan) és egy nem-euklideszi geometria lehetőségének elgondolásában, amely a négy euklideszi posztulátumon és a ötödik. Felfedezését soha nem publikálta: ezt annak esetének tekintik egyidejű felfedezés, mert három független referense volt (maga Gauss, Bolyai János és Nyikolaj Lobacsevszkij).

A megtagadás ötödik törvény Az euklideszi elmélet két lehetőséget rejt magában (a Playfair ekvivalens megfogalmazását felvéve): egy egyenesen kívüli ponton vagy nem halad párhuzamosan, vagy egynél több párhuzamos halad. A nem euklideszi geometriák között találjuk például a geometriát "képzeletbeliLobacsevszkij, későbbi nevénhiperbolikus"- alapján, "Adott egy egyenes külső pontja, végtelen metsző egyenesek, végtelen nem metsző egyenesek és csak két párhuzamos egyenes halad át ezen a ponton.”, az egyedülálló euklideszi párhuzamtól eltérően; vagy Bernhard Riemann elliptikus geometriája, amely kimondja, hogy "Egy egyenesen kívüli ponton keresztül nem halad át vele párhuzamos.”.

A felfedezés alkalmazásai és következményei

Jelenleg ismert, hogy a lokális térben mindkét geometria hozzávetőleges eredményt ad. A különbségek akkor jelennek meg, ha a fizikai teret ilyen vagy olyan geometria írja le, nagy távolságokat figyelembe véve. Bár továbbra is az euklideszi geometriát használjuk, mivel ez az, amely a legegyszerűbben írja le a terünket helyi léptékben, a felfedezés A nem euklideszi geometriák döntő jelentőségű volt, amennyiben az igazságok megértésének gyökeres átalakulását jelentette. tudományos.

Addig azt hitték, hogy az euklideszi geometria valóban leírja a teret. Amikor egy másik geometrián keresztül, más posztulátumokkal igazoltuk a leírás lehetőségét, újra kellett gondolni azokat a kritériumokat, amelyek alapján lehetséges egy vagy másik magyarázat feltételezése, mint pl.igaz”.

Bibliográfia

MARTINEZ LORCA, A. (1980) „Szókratész etikája és hatása a gondolat Occidental”, in Revista Baética: Estudios de Arte, Földrajz és History, 3, 317-334. Malagai Egyetem.

Témák a nemeuklideszi geometriában