Hogyan definiálható a Thalész-tétel?

Thalész tétele alapján, ha több párhuzamos egyenes van, a \(T\) egyenest keresztirányúnak mondjuk a párhuzamos egyenesekre, ha metszi az egyes párhuzamos egyeneseket.

Az 1. ábrán a \({T_1}\) és \({T_2}\) vonalak keresztirányban vannak a \({L_1}\) és \({L_2}) párhuzamos egyenesekre.

Thalész-tétel (gyenge változat)
Ha több párhuzamos határoz meg egybevágó szakaszokat (amelyek ugyanannyit mérnek) a két keresztirányú egyenesük egyikében, akkor a többi keresztirányú vonalban is egybevágó szakaszokat határoznak meg.

A 2. ábrán a fekete vonalak párhuzamosak, és a következőket kell tennie:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
A következőket tudjuk biztosítani:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Azt mondják, hogy a bölcs milétoszi Thalész megmérte a Kheopsz-piramis magasságát, ehhez árnyékokat és háromszög-hasonlósági tulajdonságok alkalmazását használta. Thalész tétele alapvető fontosságú a háromszögek hasonlósága fogalmának kidolgozásához.

Az arányok arányai és tulajdonságai

Az egyik arány két olyan szám hányadosa, amelynek osztója nem nulla; vagyis:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{with\;}}b \ne 0\)

Az arány két arány egyenlősége, azaz:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\)-t az arányosság állandójának is nevezik.

Az arányok tulajdonságai

Ha \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), akkor \(m \ne 0:\;\) esetén

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

példák

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

A \(\overline {AB} \) és \(\overline {CD} \) szegmenspár arányos a \(\overline {EF} \) és \(\overline {GH} \) szegmensekkel. ha az arány teljesül:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Ahol \(AB\;\) a szegmens hosszát jelöli \(\overline {AB} .\)

Thalész tétele

Visszatérve a definícióra, több párhuzam határoz meg arányos megfelelő szakaszokat keresztirányú egyeneseiben.

A 3. ábrán az egyenesek párhuzamosak, és biztosíthatjuk:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Vegyük észre, hogy az első két előző arány megfelel a következő arányoknak:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)A fentiekből kapunk:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Sokszor jobb az előző arányokkal dolgozni, és ebben az esetben:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Thalész-tétel megfordítása

Ha több egyenes arányos megfelelő szakaszokat határoz meg keresztirányú egyeneseiben, akkor az egyenesek párhuzamosak

Ha a 4. ábrán teljesül

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Ezután megerősíthetjük, hogy: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

A \({L_1}\párhuzamos {L_2}\), olvasott \({L_1}\) jelölés párhuzamos a \({L_2}\) jelöléssel.

Az előző arányból a következőket kapjuk:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Egy szakasz felosztása több egyenlő hosszúságú részre

Egy konkrét példán keresztül bemutatjuk, hogyan lehet egy szakaszt egyenlő hosszúságú részekre osztani.

Oszd fel a \(\overline {AB} \) szegmenst 7 egyenlő hosszúságú szegmensre

Kiinduló helyzet

Rajzoljon egy segédvonalat, amely átmegy a szakasz egyik végén

Egy iránytű segítségével 7 egyenlő hosszúságú szegmens rajzolódik ki a segédvonalra

Rajzolja meg azt a vonalat, amely összeköti az utoljára rajzolt szegmens végeit és a felosztandó szegmens másik végét

Azon a pontokon átmenő pontokon, ahol a kerület ívei metszik a segédvonalat, párhuzamosak az éppen megrajzolt utolsó vonallal.

Adott egy \(\overline {AB} \) szegmens, a szegmens \(P\) pontja osztja a \(\overline {AB} \) szegmenst \(\frac{{AP} arányban } {{PB}}.\)

Szegmens felosztása adott arányban

Adott egy szegmens \(\overline {AB} \), és két pozitív egész szám \(a, b\); a \(P\) pont, amely a szakaszt \(\frac{a}{b};\;\) arányban osztja, a következőképpen található:

1. Oszd fel a \(\overline {AB} \) szegmenst \(a + b\) egyenlő hosszúságú szegmensekre.
2. Vegyünk \(a\) szegmenseket az \(A\) ponttól számítva.

példák

A \(\overline {AB} \) szegmens felosztása \(\frac{a}{b}\) arányban

Ok	Azon részek száma, amelyekre a szegmens fel van osztva	A \(P\) pont helye
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Alkalmazott példák Thalész-tételre

alkalmazás 1: Három telek húzódik a Sol utcától a Luna utcáig, amint az 5. ábrán látható.

Az oldalsó határok a Luna utcára merőleges szakaszok. Ha a Sol utcai telkek teljes homlokzata 120 méter, akkor az adott utcában minden telek homlokzatát határozza meg, ha az is ismert:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Problémanyilatkozat

Mivel a vonalak merőlegesek a Luna utcára, tehát párhuzamosak egymással, a Thalész-tétel alkalmazásával megerősíthetjük:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)A fentiek közül következtethetünk:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Hasonlóképpen következtethetünk:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Megoldás

Az arányossági állandó \(k,\) meghatározásához az arányok tulajdonságait használjuk:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

A fentiekből a következőket kapjuk:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\left( {10} \right) = 12.\)

Analóg módon:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Válasz

Szegmens	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Hossz	12 m	48 m	24 m	36 m

alkalmazás 2: Egy grafikus tervező egy paralelogramma alakú polcot tervezett, és 3 polcot fog elhelyezni, ahogy az a A 6. ábra E és F pontjai a \(\overline {AD} \) és \(\overline {BC} ,\) oldalak felezőpontjai. illetőleg. Be kell vágni a polcokat, hogy elkészíthesd az összeállításokat. A polcok melyik részén kell a vágásokat elvégezni?

A probléma megfogalmazása: A feladatban megadott feltételeknek köszönhetően a következők teljesülnek:

\(ED = EA = CF = BF\)

Segédkonstrukcióként meghosszabbítjuk a \(\overline {CB} \) és \(\overline {DA} \) oldalakat. Az A ponton keresztül \(A\) és az oldallal párhuzamosan \(\overline {EB} \) és a \(C\;\) ponton keresztül párhuzamos vonalat húzunk az oldallal \(\overline {DF} \).

A Thalész-tétel megfordításával megmutatjuk, hogy a \(\overline {EB} \) és \(\overline {DF} \) szegmensek párhuzamosak a Thalész-tétel alkalmazásához.

Megoldás

Az \(EAIB\) négyszög felépítése szerint paralelogramma, így azt kapjuk, hogy EA=BI, mivel ezek egy paralelogramma ellentétes oldalai. Most:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

A Thalész-tétel reciprokát és reciprokát alkalmazva megállapíthatjuk:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

A \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) szegmensek és a BC és CI szegmensek transzverzálisának vétele; mint:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

A \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) és a \(\overline {AC} \) és \(\overline {EB} \) szegmensek keresztirányú átmenetei a következők:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Hasonlóképpen látható, hogy:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Válaszok

A \(\overline {AC} \) átlós vágásokat a \(G\;\) és \(H\) pontokban kell végrehajtani úgy, hogy:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Ugyanez igaz a \(\overline {EB} \) és \(\overline {DF} \) polcokra is.