Apa Persamaan Maxwell, dan bagaimana mereka didefinisikan?

Angel Zamora Ramirez | Juli 2022
Gelar dalam fisika

Sebelum persamaan-persamaan ini, dikatakan bahwa gaya-gaya listrik dan magnet adalah "gaya-gaya pada suatu jarak", tidak ada cara fisik yang diketahui yang dengannya jenis interaksi ini akan terjadi. Setelah bertahun-tahun penelitian tentang listrik kamu daya tarik, Michael Faraday menyadari bahwa pasti ada sesuatu yang bersifat fisik di ruang antara muatan dan arus listrik yang memungkinkan mereka berinteraksi satu sama lain dan memanifestasikan semua fenomena listrik dan magnet yang diketahui, ia pada awalnya menyebutnya sebagai "garis gaya", yang mengarah pada gagasan tentang keberadaan medan elektromagnetik.

Membangun ide Faraday, James Clerk Maxwell mengembangkan teori medan yang diwakili oleh empat persamaan diferensial parsial. Maxwell menyebut ini sebagai "teori elektromagnetik" dan merupakan orang pertama yang memasukkan jenis bahasa matematika ini ke dalam teori fisika. Persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial untuk vakum (yaitu, dengan tidak adanya bahan dielektrik dan/atau terpolarisasi) adalah sebagai berikut:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Persamaan Maxwell untuk ruang hampa dalam bentuk diferensialnya

Dimana \(\vec{E}~\)adalah medan listrik, \(\vec{B}~\)adalah medan magnet, \(\rho ~\)adalah kerapatan muatan listrik, \(\vec{J}~~\)adalah vektor yang berasosiasi dengan a arus listrik, \({{\epsilon }_{0}}~\)adalah permitivitas listrik ruang hampa dan \({{\mu }_{0}}~~\)adalah permeabilitas magnetik ruang hampa. Masing-masing persamaan ini sesuai dengan hukum elektromagnetisme dan memiliki arti. Saya akan menjelaskan secara singkat masing-masing di bawah ini.

hukum Gauss

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Hukum Gauss untuk medan listrik

Persamaan pertama memberi tahu kita bahwa muatan listrik adalah sumber medan listrik, medan listrik ini "menyimpang" langsung dari muatan. Selanjutnya, arah medan listrik ditentukan oleh tanda muatan listrik yang menghasilkannya, dan seberapa dekat garis-garis medan menunjukkan besarnya medan itu sendiri. Gambar di bawah sedikit meringkas apa yang baru saja disebutkan.

Ilustrasi 1. Dari Studiowork.- Diagram medan listrik yang dihasilkan oleh dua muatan titik, satu positif dan satu negatif.

Hukum ini berutang namanya kepada matematikawan Johann Carl Friedrich Gauss yang merumuskannya berdasarkan teorema divergensinya.

Hukum Gauss untuk medan magnet

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Hukum Gauss untuk medan magnet

Hukum ini tidak memiliki nama khusus, tetapi disebut demikian karena kemiripannya dengan persamaan sebelumnya. Arti dari ungkapan ini adalah bahwa tidak ada "muatan magnet" yang dianalogikan dengan "muatan listrik", yaitu tidak ada monopol magnetik yang menjadi sumber medan magnet. Inilah alasan mengapa jika magnet kita pecah menjadi dua kita masih akan memiliki dua magnet yang sama, baik dengan kutub utara dan kutub selatan.

Hukum Faraday

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Hukum induksi Faraday

Ini adalah hukum induksi terkenal yang dirumuskan oleh Faraday ketika pada tahun 1831 ia menemukan bahwa perubahan medan magnet mampu menginduksi arus listrik. Persamaan ini berarti bahwa medan magnet yang berubah terhadap waktu mampu menginduksi di sekitarnya medan listrik, yang pada gilirannya dapat menyebabkan muatan listrik bergerak dan menciptakan sungai kecil. Meskipun ini mungkin terdengar sangat abstrak pada awalnya, hukum Faraday berada di balik cara kerja motor, gitar listrik, dan kompor induksi.

Hukum Ampere–Maxwell

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Hal pertama yang diberitahukan persamaan ini kepada kita adalah bahwa arus listrik menghasilkan medan magnet di sekitar arah arus dan itu besarnya medan magnet yang dihasilkan tergantung pada besarnya ini, inilah yang diamati Oersted dan kemudian Ampere mampu merumuskan. Namun, ada sesuatu yang aneh di balik persamaan ini, yaitu suku kedua di samping hukum persamaan diperkenalkan oleh Maxwell karena ekspresi ini awalnya tidak konsisten dengan yang lain, khususnya, itu menyebabkan pelanggaran hukum kekekalan muatan listrik. Untuk menghindari ini, Maxwell cukup memperkenalkan istilah kedua ini sehingga seluruh teorinya akan konsisten, istilah ini menerima nama "arus perpindahan" dan pada saat itu tidak ada bukti eksperimental untuk mendukungnya. akan mencadangkan

Ilustrasi 2. De Rumruay.- Arus listrik yang mengalir melalui kabel menghasilkan medan magnet di sekitarnya menurut Hukum Ampere.

Arti arus perpindahan adalah, dengan cara yang sama seperti medan magnet variabel menginduksi medan listrik, medan listrik yang berubah dengan waktu mampu menghasilkan medan magnetis. Konfirmasi eksperimental pertama dari arus perpindahan adalah demonstrasi keberadaan gelombang elektromagnetik oleh Heinrich Hertz pada tahun 1887, lebih dari 20 tahun setelah publikasi teori Maxwell. Namun, pengukuran langsung pertama arus perpindahan dilakukan oleh M. R. Van Cauwenberghe pada tahun 1929.

cahaya adalah gelombang elektromagnetik

Salah satu prediksi membingungkan pertama yang dibuat oleh persamaan Maxwell adalah keberadaan gelombang elektromagnetik, tetapi tidak hanya itu, mereka juga mengungkapkan bahwa cahaya pastilah gelombang ini Jenis. Untuk melihat ini agak kita akan bermain-main dengan persamaan Maxwell, tapi sebelum itu, berikut adalah bentuk persamaan gelombang:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Bentuk umum persamaan gelombang tiga dimensi.

Dimana \({{\nabla }^{2}}\) adalah operator Laplacian, \(u\) adalah fungsi gelombang, dan \(v\) adalah kecepatan gelombang. Kami juga akan bekerja dengan persamaan Maxwell di ruang kosong, yaitu, dengan tidak adanya muatan listrik dan arus listrik, hanya medan listrik dan magnet:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Dan kami juga akan menggunakan yang berikut ini identitas kalkulus vektor:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \waktu{A}\)

Jika kita menerapkan identitas ini ke medan listrik dan magnet menggunakan persamaan Maxwell untuk ruang kosong di atas, kita mendapatkan hasil sebagai berikut:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Perhatikan kesamaan persamaan ini dengan persamaan gelombang di atas, di kesimpulan, medan listrik dan magnet dapat berperilaku seperti gelombang (gelombang elektromagnetik). Jika kita mendefinisikan kecepatan gelombang ini sebagai \(c\) dan membandingkan persamaan ini dengan persamaan gelombang di atas, kita dapat mengatakan bahwa kecepatannya adalah:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) dan \({{\epsilon }_{0}}\) masing-masing adalah permeabilitas magnetik dan permitivitas listrik vakum, dan keduanya adalah konstanta universal yang nilainya \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) dan \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), mensubstitusi nilai-nilai ini, kita mendapatkan bahwa nilai \(c\) adalah \(c=299.792.458\frac{m}{s}\kira-kira 300.000~km/s\) yang merupakan kecepatan lampu.

Dengan analisis kecil ini kita dapat memperoleh tiga kesimpulan yang sangat penting:

1) Medan listrik dan medan magnet dapat berperilaku seperti gelombang, yaitu ada gelombang elektromagnetik yang juga mampu merambat melalui ruang hampa.

2) Cahaya adalah gelombang elektromagnetik yang kecepatannya bergantung pada permeabilitas magnetik dan permitivitas medium yang dilaluinya, di ruang hampa cahaya memiliki kecepatan kira-kira 300.000 km/s.

3) Karena permeabilitas magnetik dan permitivitas listrik adalah konstanta universal, maka kecepatan cahaya juga merupakan konstanta universal, tetapi ini juga menyiratkan bahwa nilainya tidak bergantung dari kerangka dari mana ia diukur.

Pernyataan terakhir ini sangat kontroversial pada saat itu, bagaimana mungkin kecepatan cahaya adalah sama terlepas dari gerakan orang yang mengukurnya dan gerakan sumber cahaya. lampu? Kecepatan sesuatu harus relatif, bukan? Nah, ini adalah titik balik bagi fisika saat itu dan fakta sederhana namun mendalam ini mengarah pada pengembangan Teori Relativitas Khusus oleh Albert Einstein pada tahun 1905.