Definisi Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dari variabel nyata yang bentuknya dinyatakan.

\(f\kiri( x \kanan) = a{x^2} + bx + c\)

Dimana variabel \(x\), \(a, b\) dan c adalah konstanta real, disebut koefisien fungsi kuadrat dengan \(a \ne 0.\)

Tabel tersebut menampilkan contoh umum fungsi kuadrat dan situasi yang dapat dimodelkan, untuk kemudian mengilustrasikan penerapan langsungnya dari masalah nyata.

Fungsi kuadrat	Situasi yang bisa Anda modelkan
\(f\kiri( x \kanan) = {x^2}\)	Variabel \(y\) adalah luas persegi yang sisinya berukuran \(x\).
\(f\kiri( x \kanan) = \pi {x^2}\)	Variabel \(y\) adalah luas lingkaran yang berjari-jari \(x\).
\(f\kiri( x \kanan) = 100 – 4,9{x^2}\)	Variabel \(y\) adalah ketinggian objek yang dijatuhkan pada ketinggian 100 dan \(x\) adalah waktu yang telah berlalu.
\(f\kiri( x \kanan) = 60\kiri( {{\bf{sin}}45^\circ } \kanan) x – 4.9{x^2}\)	Variabel \(y\) adalah ketinggian bola meriam yang dilemparkan dengan sudut 45° dengan kecepatan 60 m/s dan \(x\) adalah waktu yang telah berlalu.

Rumus umum dan fungsi kuadrat

Jika untuk \(x = \alpha\) fungsi kuadratnya nol, maka bilangan tersebut \(\alpha\) disebut akar fungsi kuadrat, ya, \(\alpha\) adalah solusi dari persamaan kuadrat

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Rumus umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang kita miliki bahwa akar dari fungsi kuadrat adalah:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Dari penjelasan di atas, hubungan berikut antara akar dan koefisien fungsi kuadrat dibuat:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Melalui produk-produk terkemuka, identitas berikut ditetapkan:

\(a{x^2} + bx + c = a\kiri( {x – \alpha } \kanan)\kiri( {x – \beta } \kanan)\)

Dengan cara yang mirip dengan yang ditetapkan dalam rumus umum, ditetapkan bahwa fungsi kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk:

\(f\kiri( x \kanan) = a{\kiri( {x – h} \kanan)^2} + k\)

Dengan \(h = – \frac{b}{{2a}}\) dan \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Dengan memecahkan persamaan:

\(a{\kiri( {x – h} \kanan)^2} + k = 0\)

Diperoleh:

\(\kiri| {x – h} \kanan| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), hanya jika konstanta \(k\) dan \(a\) adalah dari berlawanan tanda, fungsi kuadrat ini memiliki akar real, yaitu: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Jika konstanta \(k\) dan \(a\) memiliki tanda yang sama maka fungsi kuadrat tidak memiliki akar real.

Ketika \(k = 0,\;\;\)fungsi kuadrat hanya memiliki satu akar.

Contoh diterapkan pada kehidupan nyata

Contoh aplikasi 1: Ekonomi

Sebuah sekolah ingin menyelenggarakan turnamen sepak bola di mana setiap tim bertanding melawan tim lainnya hanya sekali. Ada anggaran sebesar $15.600 untuk biaya arbitrase, jika biaya arbitrase adalah $200 per game. Berapa banyak tim yang dapat mendaftar untuk turnamen?

Pernyataan masalah: Kita harus menemukan fungsi yang menghitung jumlah kecocokan ketika kita memiliki \(n\) tim untuk menghitungnya, kami akan membuat asumsi bahwa tim 1 bermain lebih dulu dengan yang lain, yaitu \(n – 1\) pertandingan. Tim 2 sekarang akan bermain dengan yang lainnya, yaitu dengan \(n – 2\), karena mereka sudah bermain dengan tim 1. Tim 3 sudah bermain dengan tim 1 dan 2, jadi mereka harus bermain dengan n-3 tim.

Dengan penalaran di atas kita sampai pada:

\(f\kiri( n \kanan) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\kiri( n \kanan) = \frac{{n\kiri( {n – 1} \kanan)}}{2}\)

Fungsi biayanya adalah:

\(C\kiri( n \kanan) = 200f\kiri( n \kanan) = 100n\kiri( {n – 1} \kanan)\)

Memiliki anggaran sebesar $15.600, kami memiliki persamaan:

\(100n\kiri( {n – 1} \kanan) = 15600\)

penyelesaian persamaan

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Situasi awal
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Bagi setiap ruas persamaan dengan 100
\({n^2} – n – 156 = \) Tambahkan \( – 156\) ke setiap sisi persamaan
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Kita memiliki \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) dan \( – 13 + 12 = – 1\)
Itu difaktorkan.
Solusi persamaan \(n = – 12,\;13\)
Jawab: Anggaran cukup untuk mendaftar 13 tim.

Contoh aplikasi 2: Ekonomi

Sebuah perusahaan bus transportasi metropolitan telah mengamati bahwa, dalam delapan jam sehari, setiap busnya mengangkut rata-rata seribu penumpang. Agar dapat menaikkan gaji pekerja Anda, Anda harus menaikkan tarif Anda, yang saat ini $5; Seorang ekonom menghitung bahwa, untuk setiap peso kenaikan tarif, setiap truk akan kehilangan rata-rata 40 penumpang setiap hari. Perusahaan telah menghitung bahwa, untuk menutup kenaikan gaji, perusahaan harus mendapatkan tambahan $760 per truk setiap hari.Berapa kenaikan tarif?

Pernyataan masalah: Biarkan \(x\) menjadi jumlah peso di mana tiket akan naik, yang mana \(5 + x\) adalah harga tiket yang baru. Dengan peningkatan yang sama ini, rata-rata setiap truk akan mengangkut \(1000 – 40x\) penumpang per hari.

Akhirnya, pendapatan per truk adalah:

\(I\kiri( x \kanan) = \kiri( {5 + x} \kanan)\kiri( {1000 – 40x} \kanan) = – 40\kiri( {x + 5} \kanan)\kiri( {x – 25} \kanan)\)

Untuk menutup kenaikan gaji, setiap bus harus mengumpulkan: \(1000\kiri( 5\kanan) + 760 = 5760\)

Akhirnya kita memiliki persamaan:

\( – 40\kiri( {x + 5} \kanan)\kiri( {x – 25} \kanan) = 5760\)

penyelesaian persamaan
\( – 40\kiri( {x + 5} \kanan)\kiri( {x – 25} \kanan) = 5760\) Situasi awal
\(\kiri( {x + 5} \kanan)\kiri( {x – 25} \kanan) = – 144\) Bagilah dengan \( – 40\) setiap ruas persamaan
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Produk luar biasa dikembangkan
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 ditambahkan ke masing-masing
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Kita memiliki \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ kanan) = 19\) dan \( – 19 – 1 = – 20\)
difaktorkan
Solusi dari persamaan \(n = 1.19\)
Jawaban: Harga tiket bisa naik $1 atau $19 peso.

Contoh aplikasi 3: Ekonomi

Sebuah toko roti menjual rata-rata 1.200 roti gulung per minggu seharga $6 per buah. Suatu hari dia memutuskan untuk menaikkan harga menjadi $9 per buah; sekarang penjualannya menurun: dia hanya menjual rata-rata 750 gulungan seminggu. Berapakah seharusnya harga tiap roti agar pendapatan gerai setinggi mungkin? Asumsikan bahwa ada hubungan linier antara permintaan dan harga.

Pernyataan masalah: Dengan asumsi bahwa ada hubungan linier antara permintaan D dan harga \(x,\) lalu

\(D = mx + b\)

Ketika \(x = 6;D = 1200;\;\) yang menghasilkan persamaan:

\(1200 = 6m + b\)

Ketika \(x = 9;D = 750;\;\) lo dan diperoleh persamaan:

\(750 = 9m + b\)

Memecahkan sistem persamaan, hubungan antara permintaan dan harga adalah:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\kiri( {x – 14} \kanan)\)

Penghasilannya sama dengan

\(I\kiri( x \kanan) = Dx = – 150x\kiri( {x – 14} \kanan)\)

Larutan

Grafik pendapatan pada parabola yang terbuka ke bawah dan nilai maksimumnya dicapai pada titik di yang dapat ditemukan dengan merata-ratakan akar fungsi kuadrat yang memodelkan penghasilan. Akarnya adalah \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\kiri( h \kanan) = – 150\kiri( 7 \kanan)\kiri( {7 – 14} \kanan) = 7350\)

Menjawab

Pendapatan maksimum adalah $7.350 dan dicapai dengan harga $7; menjual, rata-rata, 1050 gulungan seminggu.

Contoh Aplikasi 4: Ekonomi

Biaya pembuatan \(n\) kursi dalam satu hari dapat dihitung dengan fungsi kuadrat:

\(C\kiri( n \kanan) = {n^2} – 200n + 13000\)

Tentukan biaya minimum yang dapat dicapai.

Pernyataan masalah

Grafik \(C\left( n \right)\) adalah parabola yang terbuka ke atas dan akan mencapai titik minimumnya di \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ kiri( { – 200} \kanan)}}{{2\kiri( 1 \kanan)}} = 100\)

\(C\kiri( {100} \kanan) = {\kiri( {100} \kanan)^2} – 200\kiri( {100} \kanan) + 13000 = 3000\)

Menjawab

Biaya serendah mungkin sama dengan $3000 dan dicapai dengan memproduksi 100 kursi.

Contoh Aplikasi 5: Geometri

Sebuah belah ketupat memiliki luas 21 cm2; Jika jumlah panjang diagonalnya 17 cm, berapa panjang diagonal belah ketupat tersebut?

Pernyataan masalah: Luas belah ketupat dihitung dengan:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Dengan \(D\) dan \(d\) panjang diagonalnya, diketahui juga:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Dengan mengganti Anda mendapatkan:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Akhirnya kita mendapatkan persamaan

\(\frac{{\left( {17 – d} \kanan) d}}{2} = 21\)

Larutan
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Situasi awal
\(\kiri( {17 – d} \kanan) d = 42\) Kalikan dengan \( – 40\) setiap ruas persamaan
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Produk dikembangkan.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Kita memiliki \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ kanan) = 42\) dan \( – 14 – 3 = – 17\)
difaktorkan
Solusi dari persamaan \(d = 3.14\)
Menjawab:

Panjang diagonal belah ketupat adalah 14 cm dan 3 cm.

Contoh Aplikasi 6: Geometri

Diinginkan dibangun kandang ayam berbentuk persegi panjang seluas 140 m2 dengan memanfaatkan pagar yang cukup panjang yang akan membentuk bagian bawah kandang ayam. Tiga sisi lainnya akan dibangun dengan 34 meter linier jaring kawat, berapa panjang dan lebar kandang ayam yang harus menggunakan jaring total?

Dalam kondisi yang sama, berapakah luas maksimum yang dapat dipagari dengan jala yang sama?

Pernyataan Masalah: Menurut diagram, luasnya sama dengan:

\(A\kiri( x \kanan) = x\kiri( {34 – 2x} \kanan) = 2x\kiri( {17 – x} \kanan)\)

Dimana \(x\) adalah panjang sisi tegak lurus pagar.

Untuk mengetahui ukuran persegi panjang sehingga luasnya 140 m2 cukup dengan menyelesaikan persamaan

\(2x\kiri( {17 – x} \kanan) = 140\)

Karena grafik \(A\kiri( x \kanan)\) adalah parabola yang terbuka ke bawah untuk menghitung nilai maksimum luas, cukup menghitung titik puncak parabola.

Jawaban
Ukuran persegi panjang dengan luas 140 m2
Panjang sisi tegak lurus pagar

\(x\) Panjang sisi sejajar pagar

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Koordinat pertama dari titik puncak adalah \(h = \frac{{17}}{2}\) dan

\(A\kiri( h \kanan) = \frac{{289}}{2}\)

Luas maksimum ketika sisi tegak lurus berukuran \(\frac{{17}}{2}\;\)m dan sisi sejajar berukuran 17m, berukuran 17m, nilai luas maksimum yang dicapai adalah \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Grafik fungsi kuadrat

Dari sudut pandang geometris, akar adalah titik di mana grafik suatu fungsi memotong sumbu \(x\).

Dari ekspresi

\(f\kiri( x \kanan) = a{\kiri( {x – h} \kanan)^2} + k,\)

Kami akan menetapkan bentuk umum grafik fungsi kuadrat.

Kasus pertama \(a > 0\) dan \(k > 0\)

\(f\kiri( x \kanan) = a{\kiri( {x – h} \kanan)^2} + k\)

\(X\)	\(f\kiri( x \kanan)\)
\(j – 1\)	\(a + k\)
\(j – 2\)	\(4a + k\)
\(j – 3\)	\(9a + k\)
\(jam – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Dalam hal ini grafik memenuhi:

Simetris: Dengan sumbu simetri \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Yaitu \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \kanan)\)

Itu di atas sumbu \(x\) dan tidak memotongnya. Artinya, \(f\left( x \right) > 0\) tidak memiliki akar real.

Titik terendah pada grafik adalah pada titik \(\kiri( {h, k} \kanan)\). Yaitu \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Kasus kedua \(a < 0\) dan \(k < 0\)

\(f\kiri( x \kanan) = a{\kiri( {x – h} \kanan)^2} + k\)

\(X\)	\(f\kiri( x \kanan)\)
\(j – 1\)	\(a + k\)
\(j – 2\)	\(4a + k\)
\(j – 3\)	\(9a + k\)
\(jam – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Dalam hal ini grafik memenuhi:

Simetris: Dengan sumbu simetri \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Yaitu \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \kanan)\)

Itu di bawah sumbu \(x\) dan tidak memotongnya. Artinya, \(f\left( x \right) < 0\) tidak memiliki akar real. Titik tertinggi pada grafik berada di titik \(\kiri( {h, k} \kanan)\). Yaitu \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Kasus ketiga \(a > 0\) dan \(k \le 0\).

Kasus ini mirip dengan kasus pertama, bedanya sekarang kita memiliki satu akar real (ketika \(k = 0\) ) atau dua akar real.

Dalam hal ini grafik memenuhi:

Simetris: Dengan sumbu simetri \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Yaitu \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \kanan)\)

Ini memotong sumbu \(x\), yaitu, memiliki setidaknya satu akar nyata.

Titik terendah pada grafik adalah pada titik \(\kiri( {h, k} \kanan)\). Yaitu \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Kasus keempat \(a < 0\) dan \(k \ge 0\). Kasus ini mirip dengan kasus kedua, bedanya sekarang kita memiliki satu akar real (ketika \(k = 0\) ) atau dua akar real. Dalam hal ini grafik memenuhi:

Simetris: Dengan sumbu simetri \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Yaitu \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \kanan)\)

Titik terendah pada grafik adalah pada titik \(\kiri( {h, k} \kanan)\). Yaitu \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Grafik fungsi kuadrat disebut parabola dan elemen-elemennya yang disoroti adalah sumbu simetri, titik-titik perpotongannya ke sumbu \(x\) dan titik puncak, yang merupakan titik pada grafik fungsi yang mencapai titik terendah atau tertingginya bergantung pada kasus.

Berdasarkan analisis yang dilakukan, kami dapat menyatakan:

Parabola yang terkait dengan fungsi kuadrat \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) memiliki titik puncaknya di \(\left( {h, k} \right)\) di mana :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\kiri( h \kanan)\)

contoh

Fungsi kuadrat \(y = {x^2}\)	elemen penting
Puncak parabola	\(\kiri( {0,0} \kanan)\)
Sumbu simetri parabola	\(x = 0\)
Mencegat dengan sumbu \(x\).	\(\kiri( {0,0} \kanan)\)

fungsi kuadrat \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	elemen penting
Puncak parabola	\(\kiri( {2,0} \kanan)\)
Sumbu simetri parabola	\(x = 2\)
Mencegat dengan sumbu \(x\).	\(\kiri( {2,0} \kanan)\)

Fungsi kuadrat \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	elemen penting
Puncak parabola	\(\kiri( { – 2, – 4} \kanan)\)
Sumbu simetri parabola	\(x = – 2\)
Mencegat dengan sumbu \(x\).	\(\kiri( { – 4,0} \kanan);\kiri( {0,0} \kanan)\)

Fungsi kuadrat \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	elemen penting
Puncak parabola	\(\kiri( {9,8} \kanan)\)
Sumbu simetri parabola	\(x = 9\)
Mencegat dengan sumbu \(x\).	\(\kiri( {5,0} \kanan);\kiri( {13,0} \kanan)\)

Fungsi kuadrat \(y = {x^2} + 1\)	elemen penting
Puncak parabola	\(\kiri( {0,1} \kanan)\)
Sumbu simetri parabola	\(x = 0\)
Mencegat dengan sumbu \(x\).	Tidak memiliki

fungsi kuadrat \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	elemen penting
Puncak parabola	\(\kiri( {2, – 1} \kanan)\)
Sumbu simetri parabola	\(x = 2\)
Mencegat dengan sumbu \(x\).	Tidak memiliki

Jika akar nyata dari fungsi kuadrat ada, kita dapat membuat grafik parabola yang terkait darinya. Misalkan \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Untuk ini, hal-hal berikut harus diperhitungkan:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Sebagai

\(k = f\kiri( h \kanan)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \kanan)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \kanan)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

contoh

Sketsa grafik fungsi kuadrat \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Larutan

Akarnya adalah \(\alpha = 3\;\) dan \(\beta = – 6\); maka \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\kiri( { – \frac{3}{2}} \kanan) = 2\kiri( { – \frac{3}{2} – 3} \kanan)\kiri( { – \frac {3}{2} + 6} \kanan) = \frac{1}{4}\kiri( { – \frac{9}{2}} \kanan)\kiri( {\frac{9}{2}} \kanan) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Jadi kita bisa membangun tabel berikut

\(f\kiri( x \kanan) = 2\kiri( {x – 3} \kanan)\kiri( {x + 6} \kanan)\)	elemen penting
Puncak parabola	\(\kiri( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \kanan)\)
Sumbu simetri parabola	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Mencegat dengan sumbu \(x\).	\(\kiri( { – 6,0} \kanan)\;,\;\kiri( {3,0} \kanan)\)

Untuk membuat sketsa grafik fungsi:

\(f\kiri( x \kanan) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Kami akan menggunakan ide yang sama yang telah kami gunakan; Untuk ini pertama-tama kita akan menentukan simpulnya.

Dalam hal ini, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Karena \(a > 0\), parabola “akan terbuka dan \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Selanjutnya kita akan menghitung \(k:\)

\(k = f\kiri( h \kanan) = f\kiri( 3 \kanan) = 3{\kiri( 3 \kanan)^2} – 18\kiri( 3 \kanan) + 4 = – 23\)

Titik puncak parabola berada di \(\kiri( {3, – 23} \kanan)\) dan karena terbuka ke atas, maka parabola akan memotong sumbu \(x\;\) dan sumbu simetrinya adalah \ (x = 3\).

Sekarang mari kita perhatikan fungsi kuadrat

\(f\kiri( x \kanan) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

Dalam hal ini, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Karena \(a < 0\), parabola akan terbuka ke bawah dan \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \kanan)\kiri( { - 5} \kanan)}}} \kanan) = 1.\) A Selanjutnya kita akan menghitung \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ kanan) - 9 = - 4\) Puncak dari parabola berada di \(\kiri( {1, - 4} \kanan)\) dan karena terbuka ke bawah, maka parabola tidak akan memotong sumbu \(x\;\) dan sumbu simetrinya adalah \(x = 1.\)