Definisi Progresi Aritmatika

Barisan bilangan \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots\) disebut deret aritmetika jika selisih dua bilangan berurutan sama dengan bilangan yang sama \(d\), yaitu Ya:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Bilangan \(d\) disebut selisih deret aritmetika.

Elemen \({a_1}\) disebut elemen pertama dari barisan aritmetika.

Unsur-unsur deret aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk unsur pertama dan selisihnya, yaitu:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Mereka adalah empat elemen pertama dari perkembangan aritmatika; Secara umum, elemen \(k – \)th dinyatakan sebagai berikut:

\({a_k} = {a_1} + \kiri( {k – 1} \kanan) d\)

Dari ekspresi di atas kita dapatkan:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \kiri( {k – l} \kanan) d\)

Ekspresi di atas setara dengan:

\({a_k} = {a_l} + \kiri( {k – l} \kanan) d\)

Contoh diterapkan untuk perkembangan aritmatika

1. Temukan perbedaan dari deret aritmatika: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​dan temukan elemen \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Larutan

Karena \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) kita dapat menyimpulkan selisihnya adalah:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \kiri( {20 – 1} \kanan) d = 3 + 19\kiri( 5 \kanan) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \kiri( {99 – 1} \kanan) d = 3 + 98\kiri( 5 \kanan) = 493\)

2. Dalam deret aritmetika kita memiliki: \({a_{17}} = 20\;\)dan \({a_{29}} = – 130\), tentukan selisih deret aritmatika dan tuliskan 5 elemen pertama.

Larutan

Memakai

\({a_k} – {a_l} = \kiri( {k – l} \kanan) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \kiri( {29 – 17} \kanan) d\)

\( – 130 – 20 = \kiri( {12} \kanan) d\)

\( – 150 = \kiri( {12} \kanan) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Untuk menemukan 5 elemen pertama; kita akan menghitung \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \kiri( {k – 1} \kanan) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \kiri( {17 – 1} \kanan)\kiri( { – \frac{{25}}{2}} \kanan)\)

\(20 = {a_1} + \kiri( {16} \kanan)\kiri( { – \frac{{25}}{2}} \kanan)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

5 elemen pertama adalah:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \kiri( { – \frac{{25}}{2}} \kanan),220 + 4\kiri( { – \frac{{25}}{2}} \kanan)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Bilangan poligonal dan jumlah \(n\) elemen pertama dari deret aritmatika

bilangan segitiga

Bilangan segitiga \({T_n}\;\) dibentuk dari deret aritmetika: \(1,2,3,4 \ldots \); dengan cara berikut.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

bilangan kuadrat

Bilangan kuadrat \({C_n}\;\) dibentuk dari deret aritmetika: \(1,3,5,7 \ldots \); sebagai berikut

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

bilangan segi lima

Bilangan kuadrat \({P_n}\;\) dibentuk dari deret aritmetika: \(1,3,5,7 \ldots \); sebagai berikut

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Selanjutnya, kami akan menunjukkan rumus untuk menemukan jumlah \(n\) elemen pertama dari deret aritmetika.

Mengingat perkembangan aritmatika, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) D\). Untuk menghitung jumlah \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) Anda dapat menggunakan rumus:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \kanan)}}{2}\)

yang setara dengan

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Menerapkan rumus sebelumnya, diperoleh rumus untuk menghitung bilangan segitiga, persegi, dan segi lima; yang ditunjukkan pada tabel berikut.

bilangan poligonal	\({a_1}\)	\(D\)	Rumus
Segitiga \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\kiri( {n + 1} \kanan)}}{2}\)
Kuadrat \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Pentagonal \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\kiri( {3n – 1} \kanan)}}{2}\)

Contoh bilangan poligonal

3. Dari contoh 2 hitung \({S_{33}}\).

Larutan

Dalam hal ini \({a_1} = 200\) dan \(d = – \frac{{25}}{2}\)

menerapkan

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \kanan)} \kanan)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\kiri( {400 + 16\kiri( { – 25} \kanan)} \kanan) = 17\kiri( 0 \kanan) = 0\)

sarana aritmatika

Diberikan dua angka \(a\;\) dan \(b,\) angka \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) disebut \(k\) artinya bilangan aritmatika \(a\;\) dan \(b\); jika barisan \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) merupakan deret aritmetika.

Untuk mengetahui nilai \(k\) sarana aritmetika dari bilangan \(a\;\) dan \(b\), cukup mengetahui selisih deret aritmatika, untuk itu harus mengikuti dipertimbangkan:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Dari yang di atas kami membangun hubungan:

\(b = a + \kiri( {k + 2 – 1} \kanan) d\)

Memecahkan \(d\), kita memperoleh:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

contoh

4. Temukan 7 rata-rata aritmatika antara angka -5 dan 25.

Larutan

Saat melamar

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

dengan \(b = 25,\;a = – 5\) dan \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 rata-rata aritmatika adalah:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Satu orang memberikan $2.000 sebagai uang muka untuk membeli kulkas dan membayar sisanya dengan kartu kreditnya selama 18 bulan tanpa bunga. Dia harus membayar $550 sebulan untuk melunasi utangnya, yang diperolehnya untuk membayar kulkasnya.

ke. Berapa harga kulkasnya?

B. Jika Anda telah membayar sisanya selama 12 bulan tanpa bunga, berapa pembayaran bulanannya?

Larutan

ke. Pada kasus ini:

\({a_{19}} = 2000 + 18\kiri( {550} \kanan)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

B. Antara angka 2000 dan 11900 kita harus menemukan 11 cara aritmatika, yang:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Diketahui barisan \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) tentukan 3 elemen berikut dan persamaan umum dari elemen \(n\).

Larutan

Barisan yang dimaksud bukanlah barisan aritmetika, karena \(22 – 7 \ne 45 – 22\), tetapi kita dapat membentuk barisan dengan selisih dua unsur berurutan dan tabel berikut menunjukkan hasil:

Elemen urutan \({b_n}\)	Urutan \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Kolom ketiga dari tabel di atas memberitahu kita bahwa urutan \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); adalah barisan aritmetika yang selisihnya adalah \(d = 8\).

Selanjutnya, kita akan menulis elemen barisan \({b_n}\) dalam suku barisan \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Secara umum Anda memiliki:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Saat melamar

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Dengan \({c_1} = 7\) dan \(d = 8,\) kita memperoleh:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\kiri( {7 + 4\kiri( {n – 1} \kanan)} \kanan)\)

\({b_n} = n\kiri( {4n + 3} \kanan)\)

Dengan menerapkan rumus sebelumnya: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)