Definizione di equazione quadratica/quartica

Un'equazione di secondo grado o, in mancanza, quadratica, rispetto a un'incognita, si esprime nella forma:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Dove l'incognita è \(x\), purché \(a, b\) e c siano costanti reali, con \(a \ne 0.\)

Esistono diverse tecniche per risolvere equazioni quadratiche, inclusa la fattorizzazione, nel qual caso dobbiamo tenere conto della seguente proprietà in base alla risoluzione:

Se il prodotto di due numeri è zero allora ci sono due possibilità:

1. Entrambi sono uguali a zero.
2. Se uno è diverso da zero, l'altro è zero

Quanto sopra può essere espresso come segue:
Se \(pq = 0\) allora \(p = 0\) o \(q = 0\).

Esempio pratico 1: risolvi l'equazione \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Situazione iniziale
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Aggiungi 8 a entrambi i lati dell'equazione per risolvere \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	La radice quadrata si ottiene cercando di isolare \(x.\) 8 viene scomposto e vengono applicate le proprietà dei radicali e delle potenze.
\(\sinistra| x \destra| = 2\sqrt 2 \)	Ottieni la radice di \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Le soluzioni di \({x^2} – 8\)=0 sono:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Esempio pratico 2: Risolvi l'equazione \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Situazione iniziale
\({x^2} – {12^2} = 0\)	La radice quadrata di 144 è 12. Viene identificata una differenza di quadrati.
\(\sinistra( {x + 12} \destra)\sinistra( {x – 12} \destra) = 0\)	La differenza dei quadrati è scomposta
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Consideriamo la possibilità che il fattore \(x + 12\) sia uguale a 0. L'equazione ottenuta è risolta.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Consideriamo la possibilità che il fattore \(x – 12\) sia uguale a 0. L'equazione ottenuta è risolta.

Le soluzioni dell'equazione \({x^2} – 144 = 0\) sono

\(x = – 12,\;12\)

Esempio pratico 3: risolvi l'equazione \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Situazione iniziale
\(x\sinistra( {x + 3} \destra) = 0\)	\(x\) viene identificato come fattore comune e viene eseguita la fattorizzazione.
\(x = 0\)	Considera la possibilità che il fattore \(x\) sia uguale a 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Consideriamo la possibilità che il fattore \(x – 12\) sia uguale a 0. L'equazione ottenuta è risolta.

Le soluzioni dell'equazione \({x^2} + 3x = 0\), sono:
\(x = – 3.0\)

Esempio pratico 4: Risolvi l'equazione \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Situazione iniziale
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	La radice quadrata di 49 è 7 e \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Si identifica un trinomio quadrato perfetto.
\({\sinistra( {x – 7} \destra)^2} = 0\)	Il trinomio quadrato perfetto è espresso come binomio quadrato.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

La soluzione di \({x^2} – 14x + 49 = 0\) è:
\(x = 7\)

Esempio pratico 5: Risolvi l'equazione \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Situazione iniziale
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Il prodotto \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\sinistra( {10{x^2} – 8x} \destra) – 15x + 12 = 0\)	È espresso come \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\sinistra( {5x – 4} \destra) – 3\sinistra( {5x – 4} \destra) = 0\)	Identifica \(2x\) come fattore comune nel primo addendo e fattorizzalo. Identifica \( – 3\) come fattore comune nel secondo addendo e fattorizzalo.
\(\sinistra( {5x – 4} \destra)\sinistra( {2x – 3} \destra) = 0\)	Fattorizzare il fattore comune \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Consideriamo la possibilità che il fattore \(5x – 12\) sia uguale a 0. L'equazione ottenuta è risolta.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Consideriamo la possibilità che il fattore \(2x – 3\) sia uguale a 0. L'equazione ottenuta è risolta.

Le soluzioni di \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) sono:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Esempio pratico 6: Risolvi l'equazione \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Situazione iniziale Il trinomio non è un quadrato perfetto
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Aggiungi -1 a ciascun lato dell'equazione.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Poiché \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) aggiungendo \({2^2}\), otteniamo un quadrato perfetto.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Aggiungi \({2^2}\;\) a ogni lato dell'equazione. Il lato sinistro è un quadrato perfetto.
\({\sinistra( {x + 2} \destra)^2} = 3\)	Il trinomio quadrato perfetto è espresso come binomio quadrato.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Prendi la radice quadrata di ciascun lato dell'equazione
\(\sinistra| {x + 2} \destra| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Risolvi per \(x\).

Le soluzioni di \({x^2} + 4x + 1 = 0\) sono:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Esempio pratico 7: Risolvi l'equazione \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Situazione iniziale Il trinomio non è un quadrato perfetto.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Aggiungi 1 a ciascun lato dell'equazione
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Moltiplica per ciascun lato dell'equazione in modo che il coefficiente di \({x^2}\) sia uguale a 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	prodotto è distribuito Poiché \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), aggiungendo \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) dà un trinomio quadrato perfetto.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione per risolvere \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Il trinomio quadrato perfetto è espresso come binomio al cubo.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Prendi la radice quadrata di ciascun lato dell'equazione
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Risolvi per \(x\).

Le soluzioni di \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) sono:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

La procedura utilizzata nell'equazione precedente verrà utilizzata per trovare quella che viene chiamata la formula generale per le soluzioni quadratiche.

Formula generale dell'equazione di secondo grado.

Formula generale delle equazioni di secondo grado

In questa sezione vedremo come risolvere, in modo generale, un'equazione di secondo grado

Con \(a \ne 0\) consideriamo l'equazione \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\sinistra( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \destra) = 0\)

Poiché \(a \ne 0\) basta risolvere:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Situazione iniziale
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Aggiungi \( – \frac{c}{a}\) a ciascun lato dell'equazione.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Poiché \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), aggiungendo \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) restituisce un trinomio quadrato perfetto.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Il lato sinistro dell'equazione è un trinomio quadrato perfetto.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Il trinomio quadrato perfetto è espresso come binomio quadrato. La frazione algebrica è fatta.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Prendi la radice quadrata di ciascun lato dell'equazione.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Si applicano le proprietà radicali.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Si applicano le proprietà del valore assoluto.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Ad ogni membro dell'equazione aggiungi \( – \frac{b}{{2a}}\) per risolvere per \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	La frazione algebrica è fatta.

Il termine \({b^2} – 4{a^2}c\) è chiamato discriminante dell'equazione quadratica \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Quando il discriminante dell'equazione di cui sopra è negativo, le soluzioni sono numeri complessi e non ci sono soluzioni reali. Le soluzioni complesse non saranno trattate in questa nota.

Data l'equazione quadratica \(a{x^2} + bx + c = 0\), se \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Allora le soluzioni di questa equazione sono:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

L'espressione:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Si chiama la formula generale dell'equazione quadratica.

Esempio pratico 8: risolvi l'equazione \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(A\)	\(B\)	\(C\)	Discriminante	soluzioni reali
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\sinistra( 3 \destra)\sinistra( { – 5} \destra) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Le soluzioni dell'equazione sono:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Esempio pratico 9: Risolvi l'equazione \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(A\)	\(B\)	\(C\)	Discriminante	soluzioni reali
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\sinistra( { – 4} \destra)\sinistra( 9 \destra) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\sinistra({17} \destra)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Le soluzioni dell'equazione sono:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Esempio pratico 10: Risolvi l'equazione \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(A\)	\(B\)	\(C\)	Discriminante	soluzioni reali
\(5\)	-4	\(1\)	\({\sinistra( { – 4} \destra)^2} – 4\sinistra( 5 \destra)\sinistra( 1 \destra) = 16 – 20 = – 4\)	Non ha

Equazioni varie

Ci sono equazioni non quadratiche che possono essere convertite in un'equazione quadratica.Vedremo due casi.

Esempio pratico 11: Trovare le soluzioni reali dell'equazione \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Facendo il cambio di variabile \(y = \sqrt x \), l'equazione precedente rimane come:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15a – 2a – 5 = 0\)

\(3a\sinistra( {2a + 5} \destra) – \sinistra( {2a + 5} \destra) = 0\)

\(\sinistra( {2a + 5} \destra)\sinistra( {3a – 1} \destra) = 0\)

Pertanto \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Poiché \(\sqrt x \) denota solo valori positivi, considereremo solo:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Risposta:

L'unica vera soluzione è:
\(x = \frac{1}{9}\)

Esempio pratico 12: Risolvi l'equazione \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Effettuare il cambio di variabile:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Otteniamo l'equazione:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3a\sinistra( {2a – 3} \destra) + 2\sinistra( {2a – 3} \destra) = 0\)

\(\sinistra( {2a – 3} \destra)\sinistra( {3a + 2} \destra) = 0\)

I possibili valori di \(y\) sono:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Di quanto sopra considereremo solo la soluzione positiva.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Le soluzioni sono \(x = 9.\)