Definizione di forza centripeta

La forza centripeta è una forza che agisce su un oggetto che si muove lungo una traiettoria curva. La direzione di questa forza è sempre verso il centro della curva ed è ciò che mantiene l'oggetto su quel percorso, impedendogli di continuare il suo movimento in linea retta.

Movimento curvilineo e forza centripeta

Supponiamo di avere un oggetto che si muove lungo un percorso circolare. Per descrivere il movimento curvilineo di questo corpo vengono utilizzate variabili angolari e lineari. Le variabili angolari sono quelle che descrivono il movimento dell'oggetto in termini di angolo che “spazza” lungo il suo percorso. D'altra parte, le variabili lineari sono quelle che utilizzano la sua posizione rispetto al punto di rotazione e la sua velocità nella direzione tangenziale del curva.

L'accelerazione centripeta \({a_c}\) sperimentata da un oggetto che si muove lungo una traiettoria circolare con velocità tangenziale \(v\) e ad una distanza \(r\) dal punto di rotazione sarà dato da:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

L'accelerazione centripeta è una variabile lineare utilizzata per descrivere il movimento curvilineo ed è diretta verso il centro del percorso curvo. D'altra parte, la velocità angolare ω dell'oggetto, cioè la velocità di variazione dell'angolo percorso (in radianti) per unità di tempo, è data da:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Oppure possiamo risolvere per \(v\):

\(v = \omega r\)

Questa è la relazione che esiste tra velocità lineare e velocità angolare. Se inseriamo questo nell'espressione per l'accelerazione centripeta otteniamo:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

La seconda legge di Newton ci dice che l'accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla forza ad esso applicata e inversamente proporzionale alla sua massa. Oppure, nella sua forma più conosciuta:

\(F = ma\)

Dove \(F\) è la forza, \(m\) è la massa dell'oggetto e \(a\) è l'accelerazione. Nel caso del moto curvilineo, se c'è un'accelerazione centripeta deve esserci anche una forza centripeto \({F_c}\) che agisce sul corpo di massa \(m\) e che provoca l'accelerazione centripeta \({a_c}\), è Dire:

\({F_c} = m{a_c}\)

Sostituendo le espressioni precedenti per l'accelerazione centripeta otteniamo che:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

La forza centripeta è diretta verso il centro del percorso curvilineo ed è responsabile di cambiando costantemente la direzione in cui si muove l'oggetto per mantenerlo in movimento curvo.

La gravità come forza centripeta e la Terza Legge di Keplero

La terza legge di Keplero sul moto planetario afferma che il quadrato del periodo orbitale, cioè il tempo Il tempo impiegato da un pianeta per completare un'orbita attorno al Sole è proporzionale al cubo del semiasse maggiore orbita. Questo è:

\({T^2} = Do{r^3}\)

Dove \(T\) è il periodo orbitale \(C\), è una costante e \(r\) è il semiasse maggiore, ovvero la distanza massima tra il pianeta e il Sole lungo tutta la sua orbita..

Per semplicità, consideriamo un pianeta di massa \(m\) che si muove lungo un'orbita circolare attorno al Sole, sebbene questa analisi possa essere estesa al caso di un'orbita ellittica e ottenere la stessa cosa risultato. La forza che mantiene il pianeta nella sua orbita è la gravità, che sarà:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Dove \({F_g}\) è la forza di gravità, \({M_S}\) è la massa del Sole, \(G\) è la costante gravitazionale universale e \(r\) è la distanza tra i pianeti e il sole. Tuttavia, se il pianeta si muove lungo un'orbita circolare, subisce una forza centripeta \({F_c}\) che lo mantiene su detta traiettoria e che in termini di velocità angolare \(\omega \) sarà dato da:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

La cosa curiosa è che in questo caso la gravità è quella forza centripeta che mantiene il pianeta nella sua orbita, in poche parole \({F_g} = {F_c}\), quindi possiamo dire che:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Che possiamo semplificare come:

\(SOL{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

La velocità angolare è correlata al periodo orbitale nel modo seguente:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Sostituendo nell'equazione precedente otteniamo che:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Riordinando i termini otteniamo infine che:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Quest'ultima è proprio la Terza Legge di Keplero che abbiamo presentato in precedenza e se confrontiamo la costante di proporzionalità sarebbe \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

E la forza centrifuga?

È più comune per questo tipo di movimento parlare di “forza centrifuga” anziché di forza centripeta. Soprattutto perché è quello che apparentemente proviamo quando sperimentiamo questo. Tuttavia, la forza centrifuga è una forza fittizia derivante dall'inerzia.

Immaginiamo di viaggiare su un'auto che viaggia ad una certa velocità e frena improvvisamente. Quando ciò accade sentiremo una forza che ci spinge avanti, tuttavia, questa forza apparente che sentiamo è l'inerzia del nostro corpo che vuole mantenere il suo stato di movimento.

Nel caso di un movimento curvilineo, la forza centrifuga è l'inerzia del corpo che vuole mantenere la sua movimento rettilineo ma è soggetto ad una forza centripeta che lo mantiene sul percorso curvo.

Riferimenti

David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker. (2011). Fondamenti di fisica. Stati Uniti: John Wiley & Sons, Inc.