Esempio di proprietà distributiva

Il proprietà distributiva è una proprietà di moltiplicazione che ci dice che se moltiplichiamo un numero per un altro, il risultato è come se moltiplichiamo il primo numero per l'addizione o la sottrazione che risulta nel secondo numero.

Per esprimere una moltiplicazione con una proprietà distributiva, usiamo le parentesi.

Ad esempio, se abbiamo la moltiplicazione:

6 X 9 = 54

Sappiamo che il numero 9 è il risultato della somma di 5 + 4. Applicando la proprietà distributiva, la moltiplicazione sarà espressa in questo modo:

6(5+4)

Ciò significa che moltiplicheremo il numero 6 per ciascuno dei membri della somma, e quindi eseguiremo la somma:

6 (5 + 4) = (6X5) + (6X4) = 30 + 24 = 54

E come vediamo, otteniamo lo stesso risultato. La proprietà distributiva si applica anche alla sottrazione:

6 (10–1) = (6X10) - (6X1) = 60 - 6 = 54

Questa proprietà distributiva si usa anche per ottenere il prodotto di due addizioni o sottrazioni, o di un'addizione e una sottrazione. In questi casi, ciascuno dei membri della prima operazione viene moltiplicato per ciascuno dei membri della seconda operazione, quindi vengono eseguite le operazioni:

(5 + 2) (3 + 4) = (5X3) + (5X4) + (2X3) + (2X4) = 15 + 20 + 6 + 8 = 49

Eseguire prima le operazioni delle parentesi: 7 X 7 = 49

(7–3) (6–2) = (7X6) + (7X – 2) + (- 3X6) + (- 3X – 2) = 42–14–18 + 6 = 16

Eseguire prima le operazioni delle parentesi: 4 X 4 = 16

La proprietà distributiva è utile soprattutto per il calcolo di numeri molto grandi, così come in algebra.

Se abbiamo un numero complesso, come 5648, e vogliamo moltiplicarlo per 8, possiamo scomporre 5648 in notazione decimale, moltiplicare i componenti per 8 e poi fare l'addizione:

8 (5000 + 600 + 40 + 8) = (8X5000) + (8X600) + (8X40) + (8X8) = 40000 + 4800 + 320 + 16 = 45136.

In algebra molti valori numerici sono sostituiti da valori letterali (espressi con lettere), così come valori con esponenti, e qui la proprietà distributiva è molto utile. Si seguono le stesse regole che abbiamo già spiegato:

(a + 3ab + c) (b – 2) = (ab) + (- 2a) + (3ab²) + (- 6ab) + (bc) + (- 2c) = [Ordiniamo e riduciamo i segni] –2a + ab – 6ab + 3ab²+ bc – 2c = –2a – 5ab + 3ab²+ bc – 2c [nota che abbiamo ridotto i termini comuni che ha il letterale ab]

Esempi di proprietà distributiva:

Sergio ha 7 salvadanai, e in ognuno di essi ha depositato la stessa quantità di monete e banconote. In ognuna ha messo 3 banconote da 10 pesos e 4 monete da 5 pesos. Ciò significa che in ogni salvadanaio ha messo 30 pesos in banconote e 20 pesos in monete. Per calcolare quanti soldi hai risparmiato in totale nei tuoi salvadanai, esegui il seguente calcolo:

(30 + 20) 7 = (30X7) + (20X7) = 210 + 140 = 350

Cioè, prima hai moltiplicato il denaro totale che hai messo in bolletta per il totale dei salvadanai, e poi moltiplicato il totale dei soldi in monete per il totale dei salvadanai, e poi aggiunto il risultati.

Suo fratello Esteban fa il calcolo sommando il totale di ciò che ha messo in ogni salvadanaio e poi moltiplicandolo per il totale dei salvadanai:

30 pesos in banconote da 10 e 20 pesos in monete da 5: 30 + 20 = 50

Moltiplichiamo il totale di ciascun salvadanaio per il totale dei salvadanai: 50 X 7 = 350

Come possiamo vedere, entrambi hanno raggiunto lo stesso risultato.

• (4 + 2) 3 = (4 x 3) + (2 x 3) = 12 + 6 = 18
• (6 + 9) 10 = (6 x 10) + (9 x 10) = 60 + 90 = 150
• 5x (3 - 4) = ((5x) (3)) + ((5x) (- 4)) = 15x - 20x = –5x
• (3 + 9) 9 = (3 X 9) + (9 X 9) = 27 + 81 = 108
• 2 (5 + 7) = (2 X 5) + (2 X 7) = 24
• (8 + 5) (5 + 7) = (8X5) + (8X7) + (5X5) + (5X7) = 40 + 56 + 25 + 35 = 156
• (11–3) (8–3) = (11X8) + (11X – 3) + (- 3X8) + (- 3X – 3) = 88–33–24 + 9 = 40
• (a + 2b + c) 3 = (3a) + (6b) + (3c) = 3° + 6b + 3c
• (a + b) (a – b) = [(a) (a)] + [(a) (- b)] + [(b) (a)] + [(b) (- b)] = [ per²] + [- ab] + [ab] + [- b²] = a²–B²
• (a – b – c) (a²+ 3ab + 4b²+ c) = (a³) + (3°²b) + (4ab²) + (ac) + (–a²b) + (–3ab²) + (–4b³) + (–Bc) + (–a²c) + (–3abc) + (–4 b²c) + (–c²) = a³ + 3a²b + 4ab² + ac - a²b - 3ab² - 4b³ - bc - a²c - 3abc - 4b²c - c² = a³ + 2a²b + ab² - 4b³ + ac - bc - 3abc - a²c - 4b²c - c²

Se aggiungiamo due numeri e poi moltiplichiamo il risultato per un altro numero, otteniamo lo stesso risultato che se moltiplichiamo ciascuno degli addendi per lo stesso numero e poi aggiungiamo i prodotti ottenuto.
Esempi di proprietà distributiva:
Sergio conta tutti i soldi che teneva nei suoi salvadanai ed esegue il seguente calcolo:
(30 + 20) x 7 = 350
Ha aggiunto il valore di tre banconote (30) e quello di due monete (20), e ha moltiplicato il risultato per 7.
20 x 7 + 30 x 7 = 140 + 210 = 350
In questo caso, ha moltiplicato il valore delle monete (20) per sette e ha moltiplicato il valore delle banconote (30), e ha aggiunto entrambi i risultati. Ha concluso che in entrambe le situazioni il risultato finale è lo stesso.
Nella proprietà distributiva il prodotto di una somma o addizione per un numero è uguale alla somma dei prodotti di ciascuno degli addendi per lo stesso numero.
Altri esempi della proprietà distributiva:
1) (4 + 2) x 3 = 4 x 3 + 2 x 3 = 18
2) (6 + 9) x 10 = 6 x 10 + 9 x 10 = 150
3) 5 x (3 + 4) = 5 x 3 + 5 x 4 = 35
4) (3 + 9) x 9 = 3 x 9 + 9 x 9 = 108
5) 2 x (5 + 7) = 2 x 5 + 2 x 7 = 24
Tieni presente che nella proprietà distributiva i segni (+) e (-) separano i termini. E le operazioni che sono all'interno delle parentesi vengono risolte per prime.