הגדרה של שברים שווים

אומרים ששני שברים או יותר שווים אם הם מייצגים את אותה כמות, כלומר אם
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
אומרים שהשברים \(\frac{a}{b}\) ו-\(\frac{c}{d}\) שווים.

שברים שווים: ייצוג גרפי

קחו בחשבון את הריבוע, אותו נחלק לרביעיות, שלישיות, שמיניות ושנים-עשר.

מהנתונים הקודמים אנו מבחינים בהשוואות הבאות:

איך משיגים שבר שווה ערך אחד או כמה?

ישנן שתי שיטות בסיסיות להשגת שבר שווה ערך לשבר נתון.

1. הכפלו את המונה והמכנה באותו מספר חיובי.

דוגמאות:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. הוא מחולק באותו מחלק משותף חיובי של המונה והמכנה.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

כאשר בשבר מחלקים גם המונה וגם המכנה באותו מחלק משותף מלבד 1, נאמר שהשבר הצטמצם.

שברים בלתי ניתנים לצמצום

שבר נקרא שבר בלתי ניתן לצמצום אם המחלק המשותף הגדול ביותר של המונה והמכנה שווה ל-1.

אם \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) השבר \(\frac{a}{b}\) נקרא שבר בלתי ניתן לצמצום.

ניתן שבר \(\frac{a}{b}\) כדי לקבל שבר שווה ערך לשבר זה והוא גם שבר בלתי ניתן לצמצום המונה והמונה מחולקים במחלק המשותף הגדול ביותר של \(a\;\) ושל \(ב.\)

הטבלה הבאה מציגה דוגמאות לשברים בלתי ניתנים לצמצום ושברים ניתנים לצמצום; אם הוא ניתן לצמצום, הוא מראה כיצד להשיג שבר שווה ערך בלתי ניתן לצמצום.

שבריר	המחלק המשותף הגדול ביותר	בלתי ניתן לצמצום	שבר שווה ערך בלתי ניתן לצמצום
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	לא	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	כֵּן	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	לא	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	כֵּן	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	לא	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

שברים שווים: ייצוג מילולי.

הטבלה הבאה מציגה שתי דרכים שונות להצגת מידע שווה ערך, מנקודת המבט המספרית.

ביטוי מילולי	ביטוי מקביל (מספרית)	הַנמָקָה
בשנת 1930, במקסיקו, 4 אנשים מתוך 25 אנשים דיברו שפת אם.	בשנת 1930, במקסיקו, 16 אנשים מתוך 100 אנשים דיברו שפת אם.	שני הנתונים הוכפלו ב-4
בשנת 1960, במקסיקו, 104 אנשים מכל 1,000 אנשים דיברו שפת אם.	בשנת 1960, במקסיקו, 13 אנשים מתוך 125 אנשים דיברו שפת אם	שני הנתונים חולקו ב-8.

שברים שווים: ייצוג עשרוני

הטבלה שלהלן מציגה מספרים עשרוניים שונים ושברים שווים המייצגים אותם.

מספר עשרוני	שבריר	שבר שווה ערך	פעולות
\(0.25\)	0.25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0.25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1.4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0.145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0.145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

שברים שווים: ייצוג כאחוז

הטבלה שלהלן מציגה מספרים עשרוניים שונים ושברים שווים המייצגים אותם.

מספר עשרוני	שבריר	שבר שווה ערך	פעולות
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

שברים שווים: מהטרוגני להומוגניים

בהינתן שני שברים הטרוגניים \(\frac{a}{b}\) ו-\(\frac{c}{d}\), נוכל למצוא שני שברים הומוגנית באופן ששבר אחד שווה ערך לשבר \(\frac{a}{b}\;\) והשני לשבר \(\frac{c}{d}\).

לאחר מכן, נציג שני נהלים לביצוע מה שהוזכר בפסקה הקודמת.

בואו נתבונן:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

הטבלה הבאה מציגה כמה דוגמאות.

ו. הֵטֵרוֹגֵנִי	פעולות	ו. הוֹמוֹגֵנִי
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

החיסרון בשיטה זו הוא שניתן לייצר מספרים גדולים מאוד בתהליך; במקרים רבים ניתן להימנע מכך, אם מחשבים את הכפולה הפחות משותפת של המכנים והשיטה השנייה מבוססת על חישוב הכפולה הפחות משותפת.

מכפלה משותפת פחותה בחישוב שברים

לאחר מכן, באמצעות שתי דוגמאות, כיצד להשיג שברים הומוגניים באמצעות הכפולה הפחות משותפת של המכנים, שתהיה המכנה המשותף של השברים המעורבים.

שקול את השברים: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

הכפולה הפחות משותפת של \(12\) ו-\(18\) היא \(36\); עַכשָׁיו

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

כעת שקול את השברים: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

הכפולה הפחות משותפת של \(10\), \(14\) ו-\(3\) היא \(140\); עַכשָׁיו

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

מהנתונים הקודמים אנו מבחינים בעובדה הבאה:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

הנה דוגמאות נוספות.

ו. הֵטֵרוֹגֵנִי	דקה מכנים משותפים	פעולות	ו. הוֹמוֹגֵנִי
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)