הגדרה של התקדמות אריתמטית

רצף של מספרים \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) נקרא התקדמות אריתמטית אם ההפרש בין שני מספרים עוקבים שווה לאותו מספר \(d\), זה כן:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

המספר \(d\) נקרא הפרש ההתקדמות האריתמטית.

האלמנט \({a_1}\) נקרא האלמנט הראשון ברצף האריתמטי.

ניתן לבטא את מרכיבי ההתקדמות האריתמטית במונחים של היסוד הראשון וההבדל שלו, כלומר:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

הם ארבעת היסודות הראשונים של ההתקדמות האריתמטית; באופן כללי, האלמנט \(k – \)th מבוטא באופן הבא:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

מהביטוי לעיל נקבל:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

הביטוי לעיל שווה ערך ל:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

דוגמאות מיושמות להתקדמות אריתמטית

1. מצא את ההבדל של התקדמות החשבון: \(3,8,13,18, \ldots \) ומצא את האלמנטים \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

פִּתָרוֹן

מכיוון ש-\(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) אנו יכולים להסיק שההבדל הוא:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. בהתקדמות אריתמטית יש לנו: \({a_{17}} = 20\;\)ו-\({a_{29}} = – 130\), קבעו את ההפרש של ההתקדמות החשבונית וכתבו את 5 האלמנטים הראשונים.

פִּתָרוֹן

לובש

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \left( {12} \right) d\)

\( – 150 = \left( {12} \right) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

כדי למצוא את 5 האלמנטים הראשונים; נחשב את \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

5 האלמנטים הראשונים הם:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

מספרים מצולעים וסכום האלמנטים \(n\) הראשונים של התקדמות אריתמטית

מספרים משולשים

המספרים המשולשים \({T_n}\;\) נוצרים מההתקדמות האריתמטית: \(1,2,3,4 \ldots \); בדרך הבאה.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

מספרים מרובעים

המספרים הריבועיים \({C_n}\;\) נוצרים מההתקדמות האריתמטית: \(1,3,5,7 \ldots \); כדלהלן

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

מספרים מחומשים

המספרים הריבועיים \({P_n}\;\) נוצרים מההתקדמות האריתמטית: \(1,3,5,7 \ldots \); כדלהלן

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

לאחר מכן, נציג את הנוסחה למציאת סכום האלמנטים \(n\) הראשונים של התקדמות אריתמטית.

בהינתן ההתקדמות האריתמטית, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) ד\). כדי לחשב את הסכום \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) אתה יכול להשתמש בנוסחה:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

שהוא שווה ערך ל

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

ביישום הנוסחה הקודמת, מתקבלות הנוסחאות לחישוב המספרים המשולשים, הריבועיים והמחומשים; אשר מוצגים בטבלה הבאה.

מספר מצולע	\({a_1}\)	\(ד\)	נוּסחָה
משולש \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
ריבוע \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
מחומש \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

דוגמה על מספרים מצולעים

3. מדוגמה 2 חשב את \({S_{33}}\).

פִּתָרוֹן

במקרה זה \({a_1} = 200\) ו-\(d = – \frac{{25}}{2}\)

מגיש בקשה

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\left( {400 + 16\left( { – 25} \right)} \right) = 17\left( 0 \right) = 0\)

אמצעים אריתמטיים

בהינתן שני מספרים \(a\;\) ו-\(b,\) המספרים \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) נקראים \(k\) פירושם מספרים אריתמטיים \(a\;\) ו-\(b\); אם הרצף \(a,{a_2},{a_3}, \ldots,{a_{k + 1}},b\) הוא התקדמות אריתמטית.

כדי לדעת את הערכים של \(k\) האמצעים האריתמטיים של המספרים \(a\;\) ו-\(b\), מספיק לדעת את ההבדל של ההתקדמות האריתמטית, לשם כך חייבים להיות הבאים. נחשב:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

מהאמור לעיל אנו מבססים את הקשר:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \right) d\)

פתרון עבור \(d\), נקבל:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

דוגמאות

4. מצא 7 אמצעים אריתמטיים בין המספרים -5 ו-25.

פִּתָרוֹן

בעת הגשת מועמדות

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

עם \(b = 25,\;a = – 5\) ו-\(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 האמצעים האריתמטיים הם:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. אדם אחד נתן 2,000 דולר כמקדמה לקניית מקרר ושילם את השאר בכרטיס האשראי שלו למשך 18 חודשים ללא ריבית. הוא חייב לשלם 550 דולר לחודש כדי להסדיר את החוב, אותו רכש כדי לשלם עבור המקרר שלו.

ל. מה העלות של המקרר?

ב. אם שילמתם את השאר במשך 12 חודשים ללא ריבית, כמה יהיה התשלום החודשי?

פִּתָרוֹן

ל. במקרה הזה:

\({a_{19}} = 2000 + 18\left( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

ב. בין המספרים 2000 ל-11900 עלינו למצוא 11 אמצעים אריתמטיים, שעבורם:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. בהינתן הרצף \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) מצאו את 3 האלמנטים הבאים ואת הביטוי הכללי של האלמנט \(n\).

פִּתָרוֹן

הרצף המדובר אינו התקדמות אריתמטית, שכן \(22 – 7 \ne 45 – 22\), אבל אנחנו יכולים ליצור רצף עם ההבדלים של שני אלמנטים עוקבים והטבלה הבאה מציגה את תוצאות:

אלמנטים של הרצף \({b_n}\)	רצף \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

העמודה השלישית של הטבלה לעיל אומרת לנו שהרצף \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); הוא רצף אריתמטי שההפרש שלו הוא \(d = 8\).

לאחר מכן, נכתוב את הרכיבים של הרצף \({b_n}\) במונחים של הרצף \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

באופן כללי יש לך:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

בעת הגשת מועמדות

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

עם \({c_1} = 7\) ו-\(d = 8,\) נקבל:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n – 1} \right)} \right)\)

\({b_n} = n\left( {4n + 3} \right)\)

על ידי יישום הנוסחה הקודמת: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)