דוגמה לבינומים מצומדים

עַל אַלגֶבּרָה, א בינומי הוא ביטוי עם שני מונחים, שיש להם משתנה שונה והם מופרדים על ידי סימן חיובי או שלילי. לדוגמה: a + 2b. כשיש כפל דו-כיווני, אחד מה שנקרא מוצרים ראויים לציון:

• בינומי בריבוע: (a + b)², וזהה ל- (a + b) * (a + b)
• דו-כיווני מצומד: (a + b) * (a - b)
• בינומים עם מונח נפוץ: (a + b) * (a + c)
• קובייה בינומית(a + b)³, וזהה ל- (a + b) * (a + b) * (a + b)

בהזדמנות זו נדבר על דו-צדדי מצומדות. מוצר יוצא דופן זה הוא הכפל של שתי דו-כיווניות:

• בראשון, לקדנציה השנייה יש סימן חיובי: (a + b)
• בשני, למונח השני יש סימן שלילי: (א - ב)

מספיק ששני הסימנים שונים זה מזה. לא משנה הסדר.

צירוף כלל בינומי

כששני ביניומים כאלה מתרבים, הכלל יבוצע כדי לפתור פעולה זו:

• ריבוע הראשון: (א)² = א²
• מינוס הריבוע של השנייה: - (ב)² = - ב²

ל² - ב²

כלל פשוט מאוד זה מאומת להלן, ומכפיל את הדו-כיווניות בדרך המסורתית, מונח אחר מונח:

(a + b) * (a - b)

• (א) * (א) = ל²
• (א) * (- ב) = -אב
• (ב) * (א) = + ab
• (ב) * (- ב) = -ב²

התוצאות מורכבות ויוצרות את הביטוי:

ל² - ab + ab - ב²

על ידי סימנים מנוגדים, (-ab) ו- (+ ab) מבטלים זה את זה ומשאירים לבסוף:

ל² - ב²

דוגמאות לדו-כיפות מצומדות

דוגמה 1.- (x + y) * (x - y) =איקס² - י²

• (x) * (x) = איקס²
• (x) * (- y) = -xy
• (y) * (x) = + xy
• (y) * (- y) = -Y²

התוצאות מורכבות ויוצרות את הביטוי:

איקס² - xy + xy - y²

על ידי סימנים מנוגדים, (-xy) ו- (+ xy) מבטלים זה את זה, ולבסוף עוזבים:

איקס² - י²

דוגמה 2.- (a + c) * (a - c) =ל² - ג²

• (א) * (א) = ל²
• (א) * (- ג) = -ac
• (ג) * (א) = + ac
• (ג) * (- ג) = -ג²

התוצאות מורכבות ויוצרות את הביטוי:

ל² - ac + ac - ג²

על ידי סימנים מנוגדים, (-ac) ו- (+ ac) מבטלים זה את זה ומשאירים לבסוף:

ל² - ג²

דוגמה 3.- (איקס² + ו²) * (איקס² - י²) =איקס⁴ - י⁴

• (איקס²) * (איקס²) = איקס⁴
• (איקס²) * (- י²) = -איקס²י²
• (י²) * (איקס²) = + x²י²
• (י²) * (- י²) = -Y⁴

התוצאות מורכבות ויוצרות את הביטוי:

איקס⁴ - איקס²י² + x²י² - י⁴

על ידי סימנים מנוגדים, (-x²י²) ו- (+ x²י²) מבוטלים ומשאירים לבסוף:

איקס⁴ - י⁴

דוגמה 4.- (4x + 8y²) * (4x - 8y²) =16x² - 64 שנה⁴

• (4x) * (4x) = 16x²
• (4x) * (- 8y²) = -32xy²
• (8 שנים²) * (4x) = + 32xy²
• (8 שנים²) * (- 8y²) = -64 שנה⁴

התוצאות מורכבות ויוצרות את הביטוי:

16x² - 32xy² + 32xy² - 64 שנה⁴

על ידי סימנים מנוגדים, (-xy) ו- (+ xy) מבטלים זה את זה, ולבסוף עוזבים:

16x² - 64 שנה⁴

דוגמה 5.- (איקס³ + 3a) * (x³ - 3 א) =איקס⁶ - 9 א²

• (איקס³) * (איקס³) = איקס⁶
• (איקס³) * (- 3a) = -3ax³
• (3 א) * (x³) = + 3ax³
• (3) * (- 3) = -9 א²

התוצאות מורכבות ויוצרות את הביטוי:

איקס⁶ - 3ax³ + 3ax³ - 9 א²

על ידי סימנים מנוגדים, (-xy) ו- (+ xy) מבטלים זה את זה, ולבסוף עוזבים:

איקס⁶ - 9 א²

דוגמה 6.- (a + 2b) * (a - 2b) =ל² - 4b²

• (א) * (א) = ל²
• (א) * (- 2 ב) = -2ab
• (2 ב) * (א) = + 2ab
• (2b) * (- 2b) = -4 ב²

התוצאות מורכבות ויוצרות את הביטוי:

ל² - 2ab + 2ab - 4b²

על ידי סימנים מנוגדים, (-2ab) ו- (+ 2ab) מבטלים זה את זה ולבסוף:

ל² - 4b²

דוגמה 7.- (2c + 3d) * (2c - 3d) =4 ג² - 9 ד²

• (2 ג) * (2 ג) = 4 ג²
• (2 ג) * (- 3d) = -6cd
• (3d) * (2c) = + 6cd
• (3d) * (- 3d) = -9d²

התוצאות מורכבות ויוצרות את הביטוי:

4 ג² - 6cd + + 6cd - 9d²

על ידי סימנים מנוגדים, (-6cd) ו- (+ 6cd) מבטלים זה את זה, ולבסוף:

4 ג² - 9 ד²