דוגמה בינומית של ניוטון

ה הבינום של ניוטון, המכונה גם "משפט בינומי " הוא לוגריתם המאפשר לנו להשיג כוחות של דו-כיווניים.

כדי להשיג את הכוח הבינומי, המקדמים נקראו "מקדמים בינומיים"שמורכבים מרצפי שילובים.

דוגמה 1, נוסחאות כלליות לבינומיה של ניוטון:

(a + b)² = א² + 2 ab + b²
(א - ב)² = א² –2 ab + b²
(a + b) 3 א³ + 3 ל²b + 3 ab² + ב³

נוסחאות אלו ידועות בשם זהויות בולטות, כאשר נוצרת נוסחה כללית יותר המקבילה להתפתחות (a + b)^נ, כאשר n הוא כל מספר שלם טבעי.

נוסחה זו תקפה לכל רכיב ל י ב של טבעת,

א (לחוקים + י איקס) ל

תנאי ששני היסודות לי ב להיות כזה ש ל איקס ב = ב איקס ל:

(a + b)^נ = א^נ + ג¹_נ ל^n-2 xb² + ...
+ ג^{עמ '}_נ  ל^n-p x ב^{עמ '} +... + ג_{עמ '}ⁿ¹ + ב^נ.

ה ג^{עמ '}_נ הם מספרים שלמים טבעיים, הנקראים מקדמים בינומיים (אלה המבטאים את מספר הצירופים של נ פריטים שנלקחו עמ ' ל עמ '; ניתן לחישוב בקלות הודות למשולש של פסקל).

דוגמה 2, מהבינומה של ניוטון:

אנו רואים כפל:

z. z = z² כאשר z יכול להיות כל ביטוי אלגברי:

עכשיו נניח שזה z = איקס + י, לאחר מכן:

z. z = (x + y) = (x + y) אבל (x + y)

שניתן לחשב כך:

x + y
x + y

כאן הכפל מתבצע משמאל לימין והתוצאה מתקבלת על ידי הוספת אלגברית:

איקס² + x y
+ xy + y²

איקס² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

אם ניקח בחשבון:

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x + y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

כאשר הכפל מתבצע אנו משיגים:

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² + ו²

איקס³ + 3 x² y + 3 x y² + ו³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² + ו³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

וכשאנחנו עושים את הכפל.

איקס³ + x² y + 3 x y² + ו³

x + y_________________

איקס⁴ + 3 x³ y + 3 x² י² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + ו⁴

איקס⁴ + פי 4³ו- + 6x² y + 4xy³ + ו⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³ו- + 6x² י² + 4xy³ + ו⁴