二次/四次方程式の定義

未知数に関する 2 次方程式または二次方程式は、次の形式で表されます。
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
\(a, b\) と c が実定数であり、\(a \ne 0.\) である限り、未知数は \(x\) です。

因数分解を含む二次方程式を解くにはいくつかの手法があります。この場合、解像度に応じて次のプロパティを考慮する必要があります。

2 つの数値の積がゼロの場合、次の 2 つの可能性があります。

1. どちらもゼロに等しい。
2. 一方がゼロでない場合、もう一方はゼロです

上記は次のように表現できます。
\(pq = 0\) の場合、\(p = 0\) または \(q = 0\)。

実践例 1: 方程式 \({x^2} – 8\)=0 を解きます

\({x^2} – 8 = 0\)	初期状況
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	方程式の両辺に 8 を足して \({x^2}\) を求めます。
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	平方根は、\(x.\) を分離するために取得されます。 8 を因数分解し、根号と累乗の性質を適用します。
\(\左| x \右| = 2\sqrt 2 \)	\({x^2}\) のルートを取得します
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

\({x^2} – 8\)=0 の解は次のとおりです。
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

実践例 2: 方程式 \({x^2} – 144\)=0 を解きます

\({x^2} – 144 = 0\)	初期状況
\({x^2} – {12^2} = 0\)	144 の平方根は 12 です。 平方差が識別されます。
\(\左( {x + 12} \右)\左( {x – 12} \右) = 0\)	平方差が因数分解されます
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	係数 \(x + 12\) が 0 に等しい可能性を考えます。 得られた方程式を解きます。
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	係数 \(x – 12\) が 0 に等しい可能性を考えます。 得られた方程式を解きます。

方程式 \({x^2} – 144 = 0\) の解は

\(x = – 12,\;12\)

実践例 3: 方程式 \({x^2} + 3x = 0\) を解く

\({x^2} + 3x = 0\)	初期状況
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	\(x\) が共通因数として識別され、因数分解が実行されます。
\(x = 0\)	係数 \(x\) が 0 に等しい可能性を考えてみましょう。
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	係数 \(x – 12\) が 0 に等しい可能性を考えます。 得られた方程式を解きます。

方程式 \({x^2} + 3x = 0\) の解は次のとおりです。
\(x = – 3.0\)

実践例 4: 方程式 \({x^2} – 14x + 49 = 0\) を解く

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	初期状況
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	49 の平方根は 7 で、\(2x\left( 7 \right) = 14x.\) 完全平方三項式が識別されます。
\({\左( {x – 7} \右)^2} = 0\)	完全二乗三項式は二乗二項式として表されます。
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\) の解は次のとおりです。
\(x = 7\)

実践例 5: 方程式 \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) を解く

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	初期状況
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	積 \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\左( {10{x^2} – 8x} \右) – 15x + 12 = 0\)	\( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\左( {5x – 4} \右) – 3\左( {5x – 4} \右) = 0\)	\(2x\) を最初の加数の共通因数として識別し、それを因数分解します。 \( – 3\) を 2 番目の加数の共通因数として特定し、それを因数分解します。
\(\左( {5x – 4} \右)\左( {2x – 3} \右) = 0\)	共通因数 \(5x – 4\) を因数分解します
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	係数 \(5x – 12\) が 0 に等しい可能性を考慮します。 得られた方程式を解きます。
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	係数 \(2x – 3\) が 0 に等しい可能性を考えてみましょう。 得られた方程式を解きます。

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) の解は次のとおりです。
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

実践例 6: 方程式 \({x^2} + 4x + 1 = 0\) を解く

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	初期状況 三項式は完全な正方形ではありません
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	方程式の各辺に -1 を追加します。
\({x^2} + 4x = – 1\)	\(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) に \({2^2}\) を足すと、完全な正方形になります。
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	\({2^2}\;\) を方程式の各辺に追加します。 左側は完全な正方形です。
\({\左( {x + 2} \右)^2} = 3\)	完全二乗三項式は二乗二項式として表されます。
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	方程式の各辺の平方根を取る
\(\左| {x + 2} \右| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	\(x\) について解きます。

\({x^2} + 4x + 1 = 0\) の解は次のとおりです。
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

実践例 7: 方程式 \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) を解く

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	初期状況 三項式は完全な正方形ではありません。
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	方程式の各辺に 1 を加える
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	\({x^2}\) の係数が 1 になるように、方程式の各辺を掛けます。
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	製品が配布されます \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\) なので、\({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) は完全平方三項式を与えます。
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	\({\left( {x + 2} \right)^2}\) を解くには、方程式の両辺に 3 を追加します。
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	完全二乗三項式は三乗二項式として表されます。
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	方程式の各辺の平方根を取る
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	\(x\) について解きます。

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) の解は次のとおりです。
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

上記の方程式で使用される手順は、二次解の一般式と呼ばれるものを見つけるために使用されます。

二次方程式の一般式。

二次方程式の一般式

このセクションでは、一般的な方法で二次方程式を解く方法を見つけます。

\(a \ne 0\) で方程式 \(a{x^2} + bx + c = 0\) を考えてみましょう。

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

\(a \ne 0\) なので、以下を解くだけで十分です:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	初期状況
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	方程式の各辺に \( – \frac{c}{a}\) を追加します。
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	\(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\) なので、\({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) は、完全平方三項式を生成します。
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	方程式の左辺は完全二乗三項式です。
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	完全二乗三項式は二乗二項式として表されます。 代数分数が完了しました。
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	方程式の各辺の平方根をとります。
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	ラジカル プロパティが適用されます。
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	絶対値のプロパティが適用されます。
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } {{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	方程式の各辺に \( – \frac{b}{{2a}}\) を追加して \(x\) を解きます
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	代数分数が完了しました。

項 \({b^2} – 4{a^2}c\) は二次方程式 \(a{x^2} + bx + c = 0\) の判別式と呼ばれます。

上式の判別式が負の場合、解は複素数になり、実数の解はありません。 複雑なソリューションについては、このノートでは扱いません。

2 次方程式 \(a{x^2} + bx + c = 0\) が与えられた場合、\({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\) の場合。 この方程式の解は次のとおりです。

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

表現：

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

二次方程式の一般式といいます。

実践例 8: 方程式 \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\) を解きます

\（に\）	\(b\)	\(c\)	差別的	実際のソリューション
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\左( 3 \右)\左( { – 5} \右) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

方程式の解は次のとおりです。
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

実践例 9: 方程式 \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\) を解く

\（に\）	\(b\)	\(c\)	差別的	実際のソリューション
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\左( { – 4} \右)\左( 9 \右) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\左( {17} \右)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

方程式の解は次のとおりです。
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

実践例 10: 方程式 \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\) を解く

\（に\）	\(b\)	\(c\)	差別的	実際のソリューション
\(5\)	-4	\(1\)	\({\左( { – 4} \右)^2} – 4\左( 5 \右)\左( 1 \右) = 16 – 20 = – 4\)	持っていない

その他の方程式

2 次方程式に変換できる非 2 次方程式があります。

実践例 11: 方程式 \(6x = 5 – 13\sqrt x \) の実数解を求める

変数 \(y = \sqrt x \) を変更すると、前の方程式は次のようになります。

\(6{年^2} = 5 – 13年\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

したがって、\(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\)。

\(\sqrt x \) は正の値のみを表すため、以下のみを考慮します。

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

答え：

唯一の本当の解決策は次のとおりです。
\(x = \frac{1}{9}\)

実施例 12: 方程式を解く \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

変数の変更:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

次の式が得られます。

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{年^2} – 6 = 5年\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

\(y\) の可能な値は次のとおりです。

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

上記のうち、肯定的な解決策のみを検討します。

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

解は \(x = 9.\)