タレスの定理はどのように定義されていますか?

タレスの定理から、いくつかの平行線が与えられた場合、線 \(T\) が各平行線と交差する場合、線 \(T\) は平行線に対して横方向であると言われます。

図 1 では、線 \({T_1}\) と \({T_2}\) は、平行線 \({L_1}\) と \({L_2}.\) に対して横になっています。

タレスの定理 (弱いバージョン)
複数の緯線が 2 つの横断線の 1 つで合同セグメント (測定値が同じ) を決定する場合、それらは他の横断線でも合同セグメントを決定します。

図 2 では、黒い線が平行であり、次のことを行う必要があります。
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
次のことを保証できます。
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

賢明なミレトスのタレスは、影と三角形の相似性を利用してケオプスのピラミッドの高さを測定したと言われています。 タレスの定理は、三角形の相似性の概念を発展させるための基本的なものです。

比率とプロポーションのプロパティ

1 つの比率は、除数がゼロ以外の 2 つの数値の商です。 つまり:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{with\;}}b \ne 0\)

比率とは、次の 2 つの比率が等しいことです。

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) は比例定数とも呼ばれます。

プロポーションの性質

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) の場合、\(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}​​{d}\)

例

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

セグメント \(\overline {AB} \) と \(\overline {CD} \) のペアは、セグメント \(\overline {EF} \) と \(\overline {GH} \) に比例すると言われています。比率が満たされている場合：

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

\(AB\;\) はセグメントの長さを示します \(\overline {AB} .\)

タレスの定理

定義に戻ると、いくつかの緯線は、それらの横線の比例した対応するセグメントを決定します。

図 3 では、直線は平行であり、次のことを確認できます。

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

最初の 2 つの前の比率は、次の比率と同等であることに注意してください。

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)上記の我々が得る：

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

多くの場合、以前の比率で作業する方が適切です。この場合は次のようになります。

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

タレスの定理の逆

いくつかの線がそれらの横線で比例する対応するセグメントを決定する場合、線は平行です

図4でそれが満たされている場合

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

\({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

\({L_1}\parallel {L_2}\)、読み\({L_1}\)という表記は\({L_2}\)と平行です。

前の比率から、次のことが得られます。

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

セグメントを同じ長さのいくつかの部分に分割する

具体的な例を通して、セグメントを等しい長さの部分に分割する方法を説明します。

セグメント \(\overline {AB} \) を同じ長さの 7 つのセグメントに分割します

初期状況

セグメントの端の 1 つを通る補助線を描画します

コンパスのサポートにより、補助線上に同じ長さの 7 つのセグメントが描画されます

最後に描いた線分の端と分割する線分のもう一方の端を結ぶ線を引きます

それらは、円周の円弧が補助線と交差する点を通る、直前に描かれた最後の線に平行に描かれます。

線分 \(\overline {AB} \) が与えられると、線分の点 \(P\) は線分 \(\overline {AB} \) を比率 \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

特定の比率でのセグメントの分割

セグメント \(\overline {AB} \) と 2 つの正の整数 \(a, b\) が与えられます。 比率 \(\frac{a}{b};\;\) でセグメントを分割するポイント \(P\) は、次のように見つけることができます。

1. セグメント \(\overline {AB} \) を同じ長さの \(a + b\) セグメントに分割します。
2. 点 \(A\) から数えて \(a\) セグメントを取ります。

例

比率 \(\frac{a}{b}\) での線分 \(\overline {AB} \) の分割

理由	セグメントの分割数	点\(P\)の位置
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

タレスの定理の応用例

アプリケーション 1：図5のようにソル通りからルナ通りまで3区画あります。

横方向の境界は、ルナ ストリートに垂直なセグメントです。 ソル通りの区画の総間口が 120 メートルの場合、その通りの各区画の間口がわかっている場合は、その間口を決定します。

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

問題文

これらの線はルナ ストリートに垂直であるため、タレスの定理を適用することで互いに平行であることが確認できます。

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)上記のうち 次のように結論付けることができます。

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

同様に、次のように結論付けることができます。

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

解決

比例定数 \(k,\) を決定するには、比率のプロパティを使用します。

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

上記から、次のことがわかります。
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\左( {10} \右) = 12.\)

同様に：

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\左({30}\右) = 36\)

答え

セグメント	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
長さ	12m	48メートル	24m	36m

アプリケーション 2: グラフィック デザイナーが平行四辺形の棚を設計し、図のように 3 つの棚を配置します。 図 6、点 E と F は、辺 \(\overline {AD} \) と \(\overline {BC} ,\) の中点です。 それぞれ。 アセンブリを作成できるように、棚に切り込みを入れる必要があります。 棚のどの部分をカットする必要がありますか?

問題の説明: 問題に示されている条件により、以下が満たされます。

\(ED = EA = CF = BF\)

補助的な構造として、辺 \(\overline {CB} \) と \(\overline {DA} \) を拡張します。 点 A を通り \(A\) を通り辺 \(\overline {EB} \) に平行な線が引かれ、点 \(C\;\) を通って辺 \(\overline {DF} \)。

タレスの定理を適用するために、タレスの定理の逆を使用して、セグメント \(\overline {EB} \) と \(\overline {DF} \) が平行であることを示します。

解決

構築により、四角形 \(EAIB\) は平行四辺形であり、平行四辺形の反対側であるため、EA=BI となります。 今：

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

タレスの定理の逆数を適用すると、次のように結論付けることができます。

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

セグメント \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) と、セグメント BC と CI をそれらの横断線として取ります。 として：

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

\(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) とセグメント \(\overline {AC} \) と \(\overline {EB} \) をそれらの横線としてとります:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

同様に、次のことが示されています。

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

回答

\(\overline {AC} \) は点 \(G\;\) と \(H\) で次のように作成する必要があります。

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

シェルフ \(\overline {EB} \) と \(\overline {DF} \) についても同様です。