შერეული, ერთეული, ერთგვაროვანი და ჰეტეროგენული წილადების განმარტება

შერეული. შერეული წილადი შედგება ერთზე მეტი ან ტოლი მთელი რიცხვისგან და სწორი წილადისგან, წილადის ზოგადი მართლწერით. შერეული არის ფორმა: \(a + \frac{c}{d},\), რომლის კომპაქტური ჩაწერაა: \(a\frac{c}{d},\;\), ანუ: \(a\ წილადი{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). რიცხვს \(a\) ეწოდება შერეული წილადის მთელ ნაწილს, ხოლო \(\frac{c}{d}\) - მის წილადს.

ერთგვაროვანი. თუ ორ ან მეტ წილადს აქვს ერთი და იგივე მნიშვნელი, ამბობენ, რომ ისინი წილადებივით არიან. მაგალითად, წილადები \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) ერთგვაროვანია, რადგან მათ ყველას აქვს ერთი და იგივე მნიშვნელი, რომელიც ამ შემთხვევაში არის \(4\). ხოლო წილადები \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) არ არის ერთგვაროვანი წილადები, ვინაიდან \(\frac{5}{2}\)-ის მნიშვნელი არის \(2\) და სხვა წილადების მნიშვნელი არის \(4\). ერთგვაროვანი წილადების ერთ-ერთი უპირატესობა ის არის, რომ ფუნქციების შეკრებისა და გამოკლების არითმეტიკული მოქმედებები ძალიან მარტივია.

ჰეტეროგენული. თუ ორ ან მეტ წილადს, მათგან ორს მაინც არ აქვს ერთი და იგივე მნიშვნელი, მაშინ ეს წილადები ჰეტეროგენულ წილადებად ითვლება. შემდეგი წილადები ჰეტეროგენულია: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ ფრაკი{2}{5}\).

უნიტარული. წილადი იდენტიფიცირებულია როგორც ერთეული, თუ მრიცხველი უდრის 1 \(1,\) \(2\). შემდეგი წილადები არის ერთეული წილადების მაგალითები: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

შერეული წილადის სიტყვიერი გამოხატვა

შერეული ფრაქცია	სიტყვიერი გამოთქმა
\(3\frac{1}{2} = \)	სამნახევარი მთელი
\(5\frac{3}{4} = \)	ხუთი მთელი და სამი მეოთხედი
\(10\frac{1}{8} = \)	ათი მთელი რიცხვი მერვესთან

შერეული წილადის არასწორ წილადად გადაქცევა

შერეული ფრაქციები სასარგებლოა შეფასებისთვის, მაგალითად, ადვილია დადგენა:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

თუმცა, შერეული წილადები, როგორც წესი, არაპრაქტიკულია ისეთი ოპერაციების შესასრულებლად, როგორიცაა გამრავლება და გაყოფა, რის გამოც მნიშვნელოვანია, როგორ გადავიტანოთ შერეულ წილადად.

წინა ფიგურა წარმოადგენს შერეულ წილადს \(2\frac{3}{4}\), ახლა ყოველი მთელი რიცხვი შედგება ოთხი მეოთხედი, ანუ 2 მთელ რიცხვში არის 8 მეოთხედი და მათ უნდა დავუმატოთ დანარჩენი 3 მეოთხედი, ანუ თქვი:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \მარჯვნივ) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

ზოგადად:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

შემდეგი ცხრილი გვიჩვენებს სხვა მაგალითებს.

შერეული ფრაქცია	შესასრულებელი ოპერაციები	არასწორი ფრაქცია
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\მარცხნივ( 2 \მარჯვნივ) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\მარცხნივ( 4 \მარჯვნივ) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{10\მარცხნივ( 8 \მარჯვნივ) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

არასწორი წილადის შერეულ წილადად გადაქცევა

არასწორი წილადის შერეულ წილადად გადასაყვანად გამოთვალეთ მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფის კოეფიციენტი და დარჩენილი ნაწილი. მიღებული კოეფიციენტი იქნება შერეული წილადის მთელი რიცხვი, ხოლო სწორი წილადი იქნება \(\frac{{{\rm{ნარჩენი}}}}{{{\rm{მნიშვნელი}}}}\)

მაგალითი

\(\frac{{25}}{7}\) შერეულ წილადად გადასაყვანად:

განხორციელებული ოპერაციებისთვის ვიღებთ:

ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი გვიჩვენებს სხვა მაგალითებს.

არასწორი ფრაქცია	კოეფიციენტისა და ნაშთის გამოთვლა	არასწორი ფრაქცია
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

შერეული და სათანადო წილადების ყოველდღიური გამოყენება

ყოველდღიურ ცხოვრებაში ჩვენ უნდა გავზომოთ, ვიყიდოთ, შევადაროთ ფასები, შევთავაზოთ ფასდაკლებები; გასაზომად ჩვენ გვჭირდება საზომი ერთეულები და ისინი ყოველთვის არ გვთავაზობენ პროდუქციის მთელ ერთეულებს და თქვენ ყოველთვის არ იხდით ერთეულის მონეტების მთლიან რაოდენობას.

მაგალითად, ხშირია გარკვეული სითხეების გაყიდვა კონტეინერებში, რომელთა შიგთავსი არის \(\frac{3}{4}\;\) ლიტრი, ნახევარი გალონი ან გალონ-ნახევარი. შესაძლოა, როცა მილის საყიდლად მიდიხართ, გთხოვოთ \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) და არ გჭირდებათ საზომი ერთეულის თქმა, რომელიც ამ შემთხვევაში არის ინჩი.

მსგავსი წილადების ძირითადი მოქმედებები

\(\frac{3}{4}\) და \(\frac{2}{4}\) ჯამი ნაჩვენებია შემდეგ სქემაში:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

ხოლო გამოკლება ხდება შემდეგნაირად:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

ზოგადად, ერთგვაროვანი ფრაქციებისთვის:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

ეგვიპტელები და ერთეული წილადები

ეგვიპტურმა კულტურამ მიაღწია საოცარ ტექნოლოგიურ განვითარებას და ეს არ მოხდებოდა მათემატიკის ტოლფასი განვითარების გარეშე. არსებობს ისტორიული ნაშთები, სადაც შეგიძლიათ იპოვოთ ჩანაწერები წილადების გამოყენების შესახებ ეგვიპტურ კულტურაში, განსაკუთრებით, ისინი იყენებდნენ მხოლოდ ერთეულ წილადებს.

არის რამდენიმე შემთხვევა, როდესაც წილადის დაწერა ერთეული წილადების ჯამის სახით ისეთივე მარტივია, როგორც

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

იმ შემთხვევაში, თუ \(n = 2q + 1\), ანუ კენტი, გვაქვს:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \მარჯვნივ)}}\)

ჩვენ ამას ორი მაგალითით ავხსნით.

\(\frac{2}{{11}}\); ამ შემთხვევაში გვაქვს \(11 = 2\მარცხნივ( 5 \მარჯვნივ) + 1\), შესაბამისად:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \მარჯვნივ)}},\)

ანუ

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

\(\frac{2}{{17}}\); ამ შემთხვევაში გვაქვს \(17 = 2\ მარცხნივ( 8 \მარჯვნივ) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

შემდეგი, ჩვენ ვაჩვენებთ რამდენიმე წილადს, როგორც ერთეული წილადების ჯამი,

ფრაქცია	გამოხატვა, როგორც ერთეული წილადების ჯამი	ფრაქცია	გამოხატვა, როგორც ერთეული წილადების ჯამი
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

წინა ცხრილის გამოყენებით შეგვიძლია დავამატოთ წილადები და გამოვხატოთ ასეთი ჯამები; ერთეული წილადების ჯამის სახით.

ჰეტეროგენული ფრაქციების მაგალითები

მაგალითი 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \მარჯვნივ) + \მარცხნივ ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \მარჯვნივ)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \მარჯვნივ) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

მაგალითი 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \მარჯვნივ) + \მარცხნივ ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \მარჯვნივ)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

დაბოლოს, ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ იგივე წილადი, როგორც ერთეული წილადების ჯამი სხვაგვარად, როგორც:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)