ეკვივალენტური წილადების განმარტება

ორი ან მეტი წილადი ექვივალენტურად ითვლება, თუ ისინი ერთსა და იმავე რაოდენობას წარმოადგენენ, ანუ თუ
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
წილადები \(\frac{a}{b}\) და \(\frac{c}{d}\) ექვივალენტურად ითვლება.

ეკვივალენტური წილადები: გრაფიკული წარმოდგენა

განვიხილოთ კვადრატი, რომელსაც დავყოფთ მეოთხედებად, მესამედებად, მერვეებად და მეთორმეტეებად.

წინა ფიგურებიდან ჩვენ ვამჩნევთ შემდეგ ეკვივალენტებს:

როგორ მივიღოთ ერთი ან რამდენიმე ეკვივალენტური წილადი?

არსებობს ორი ძირითადი მეთოდი მოცემული წილადის ექვივალენტური წილადის მისაღებად.

1. გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე დადებით რიცხვზე.

მაგალითები:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \მარჯვნივ)}}{{4\left(5 \მარჯვნივ)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \მარჯვნივ)}}{{4\left( 7 \მარჯვნივ)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \მარჯვნივ)}}{{8\left(6 \მარჯვნივ)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. იგი იყოფა მრიცხველისა და მნიშვნელის იგივე დადებითი საერთო გამყოფით.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

როდესაც წილადში მრიცხველიც და მნიშვნელიც იყოფა ერთი და იგივე საერთო გამყოფით, გარდა 1-ისა, ამბობენ, რომ წილადი შემცირდა.

შეუქცევადი წილადები

წილადს ეწოდება შეუქცევადი წილადი, თუ მრიცხველისა და მნიშვნელის უდიდესი საერთო გამყოფი 1-ის ტოლია.

თუ \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) წილადს \(\frac{a}{b}\) ეწოდება შეუქცევადი წილადი.

მოცემულია წილადი \(\frac{a}{b}\) ამ წილადის ტოლფასი წილადის მისაღებად და რომელიც ასევე არის შეუქცევადი წილადი, მრიცხველი და მრიცხველი იყოფა \(a\;\)-ის უდიდეს საერთო გამყოფზე და \(ბ.\)

ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი გვიჩვენებს შეუქცევადი და შესამცირებელი წილადების მაგალითებს; თუ ის რედუცირებადია, ის გვიჩვენებს როგორ მივიღოთ შეუქცევადი ეკვივალენტური წილადი.

ფრაქცია	უდიდესი საერთო გამყოფი	შეუქცევადი	შეუქცევადი ეკვივალენტური წილადი
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	არა	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	ჰო	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	არა	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	ჰო	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	არა	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

ტოლფასი წილადები: სიტყვიერი წარმოდგენა.

შემდეგი ცხრილი გვიჩვენებს ორ განსხვავებულ გზას ექვივალენტური ინფორმაციის ჩვენების რიცხვითი თვალსაზრისით.

სიტყვიერი ფრაზა	ექვივალენტური ფრაზა (რიცხობრივად)	არგუმენტაცია
1930 წელს მექსიკაში 25 ადამიანიდან 4 ადამიანი საუბრობდა მშობლიურ ენაზე.	1930 წელს მექსიკაში 100 ადამიანიდან 16 ადამიანი საუბრობდა მშობლიურ ენაზე.	ორივე მონაცემი გამრავლდა 4-ზე
1960 წელს მექსიკაში ყოველი 1000 ადამიანიდან 104 ადამიანი საუბრობდა მშობლიურ ენაზე.	1960 წელს მექსიკაში 125 ადამიანიდან 13 ადამიანი საუბრობდა მშობლიურ ენაზე	ორივე მონაცემი იყოფა 8-ზე.

ეკვივალენტური წილადები: ათწილადი წარმოდგენა

ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი აჩვენებს სხვადასხვა ათობითი რიცხვებს და ეკვივალენტურ წილადებს, რომლებიც წარმოადგენს მათ.

ათწილადი რიცხვი	ფრაქცია	ეკვივალენტური წილადი	Ოპერაციები
\(0.25\)	0.25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0.25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1.4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0.145 = \ფრაკი{145}}{1000}}\)	\(0,145 = \ფრაკ{29}}{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

ეკვივალენტური წილადები: წარმოდგენა პროცენტის სახით

ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი აჩვენებს სხვადასხვა ათობითი რიცხვებს და ეკვივალენტურ წილადებს, რომლებიც წარმოადგენს მათ.

ათწილადი რიცხვი	ფრაქცია	ეკვივალენტური წილადი	Ოპერაციები
20%	\(\frac{20}}{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{150}}{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

ეკვივალენტური წილადები: ჰეტეროგენიდან ერთგვაროვანამდე

ორი ჰეტეროგენული წილადის \(\frac{a}{b}\) და \(\frac{c}{d}\) გათვალისწინებით, შეგვიძლია ვიპოვოთ ორი წილადი ერთგვაროვანი ისე, რომ ერთი წილადი ექვივალენტური იყოს \(\frac{a}{b}\;\) წილადისა, ხოლო მეორე წილადის \(\frac{c}{d}\).

შემდეგი, ჩვენ ვაჩვენებთ ორ პროცედურას წინა აბზაცში ნახსენების შესასრულებლად.

დავაკვირდეთ:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left(d \right)}}{{b\left(d \მარჯვნივ)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left(b \right)}}{{d\left(b \მარჯვნივ)}}\)

შემდეგი ცხრილი გვიჩვენებს რამდენიმე მაგალითს.

ფ. ჰეტეროგენული	Ოპერაციები	ფ. ერთგვაროვანი
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left(3 \მარჯვნივ)}}{{5\left(3 \მარჯვნივ)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left(5 \მარჯვნივ)}}{{3\left(5 \მარჯვნივ)}} = \frac{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \მარჯვნივ)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \მარჯვნივ)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \მარჯვნივ)}}{{10\left( {14} \მარჯვნივ) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \მარჯვნივ)}}{{14\left( {10} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( 4 \მარჯვნივ)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \მარჯვნივ)}}{{4\left( {10} \მარჯვნივ)\მარცხნივ( {14} \მარჯვნივ)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

ამ მეთოდის მინუსი არის ის, რომ პროცესში შეიძლება წარმოიქმნას ძალიან დიდი რაოდენობა; ხშირ შემთხვევაში შესაძლებელია მისი თავიდან აცილება, თუ გამოითვლება მნიშვნელთა უმცირესი საერთო ჯერადი და მეორე მეთოდი ეფუძნება უმცირესი საერთო ჯერადის გამოთვლას.

უმცირესი საერთო ჯერადი წილადების გამოთვლაში

შემდეგი, ორი მაგალითის საშუალებით, როგორ მივიღოთ ერთგვაროვანი წილადები მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადის გამოყენებით, რომელიც იქნება ჩართული წილადების საერთო მნიშვნელი.

განვიხილოთ წილადები: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

\(12\) და \(18\)-ის უმცირესი საერთო ჯერადი არის \(36\); ახლა

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left(3 \მარჯვნივ)}}{{12\left(3 \მარჯვნივ)}} = \frac{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \მარჯვნივ)}}{{18\left(2 \მარჯვნივ)}} = \frac{8}{{36}} \)

ახლა განიხილეთ წილადები: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

\(10\), \(14\) და \(3\)-ის უმცირესი საერთო ჯერადი არის \(140\); ახლა

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \მარჯვნივ)}} = \frac{{98} {{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \მარჯვნივ)}}{{14\left( {10} \მარჯვნივ)}} = \frac{{30} {{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \მარჯვნივ)}}{{4\left( {35} \მარჯვნივ)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

წინა ფიგურებიდან ჩვენ ვამჩნევთ შემდეგ ფაქტს:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

აქ არის სხვა მაგალითები.

ფ. ჰეტეროგენული	წთ საერთო მნიშვნელები	Ოპერაციები	ფ. ერთგვაროვანი
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \მარჯვნივ)}}{{14\left( 9 \მარჯვნივ)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \მარჯვნივ)}}{{18\left( 7 \მარჯვნივ)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \მარჯვნივ)}}{{6\left( {15} \მარჯვნივ)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \მარჯვნივ)}}{{15\left( 6 \მარჯვნივ)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \მარჯვნივ)}}{{9\left( {10} \მარჯვნივ)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)