기하 진행 정의

일련의 숫자 \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); 두 번째부터 시작하여 각 요소가 이전 요소에 숫자 \(r\ne 0\)를 곱하여 얻은 경우, 즉 다음과 같은 경우 기하 수열이라고 합니다.
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
어디:
- 수 \(r\)는 기하수열의 비율이라고 합니다.
- 요소 \({{a}_{1}}\)는 산술 수열의 첫 번째 요소라고 합니다.

기하 수열의 요소는 첫 번째 요소와 그 비율로 표현될 수 있습니다.
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

그것들은 산술 진행의 처음 네 가지 요소입니다. 일반적으로 \(k-\)번째 요소는 다음과 같이 표현됩니다.
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

이전 식의 \({{a}_{1}}\ne 0,~\)인 경우 다음을 얻습니다.

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

위의 표현은 다음과 동일합니다.

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

예제/연습 1. 산술 진행의 차이 찾기: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​요소 \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

해결책

\(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\)이므로 비율은 다음과 같다고 결론을 내릴 수 있습니다.

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\왼쪽( {{3}^{20-1}} \오른쪽)=2{{\왼쪽( 3 \오른쪽)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\왼쪽( {{3}^{91-1}} \오른쪽)=2{{\왼쪽( 3 \오른쪽)}^{90}}\)

예제/연습 2. 산술 수열에서 우리는: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), 기하 수열의 비율을 결정하고 씁니다. 처음 5개 요소.

해결책

착용

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

산술 진행의 처음 5개 요소를 찾으려면; \({{a}_{1}}\)를 계산합니다.

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\왼쪽( -4 \오른쪽)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

기하 수열의 처음 5개 요소는 다음과 같습니다.

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

예제/연습 3. 얇은 유리는 통과하는 햇빛의 2%를 흡수합니다.

에게. 이 얇은 유리 10개를 통과하는 빛의 비율은 몇 퍼센트입니까?

비. 얇은 유리 20개를 통과하는 빛의 비율은 몇 퍼센트입니까?

씨. 동일한 특성을 가진 \(n\)개의 얇은 유리를 연속적으로 통과시키는 빛의 비율을 결정하십시오.

해결책

우리는 전체 빛을 1로 나타낼 것입니다. 빛의 2%를 흡수하면 빛의 98%가 유리를 통과합니다.

우리는 \({{a}_{n}}\)로 유리를 통과하는 빛의 비율 \(n\)을 나타낼 것입니다.

\({{a}_{1}}=0.98,~{{a}_{2}}=0.98\left( 0.98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0.98 \오른쪽)}^{2}}\왼쪽( 0.98 \오른쪽),\)

일반적으로 \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

에게. \({{a}_{10}}={{\left( 0.98 \right)}^{10}}=0.81707\); 이는 유리 10이 빛의 81.707%를 통과한 후

비. \({{a}_{20}}={{\left( 0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); 유리 20이 통과한 후 66.761%

기하 수열의 첫 번째 \(n\) 요소의 합

주어진 기하 수열 \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)…

\(r\ne 1\)이 첫 번째 \(n\) 요소의 합일 때 합계는 다음과 같습니다.

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

로 계산할 수 있습니다.

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

예제/연습 4. 예 2에서 \({{S}_{33}}\)를 계산합니다.

해결책

이 경우 \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) 및 \(r=-4\)

지원

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\왼쪽( -4 \오른쪽)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\왼쪽( 4 \오른쪽)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

예제/연습 5. 어떤 사람이 자신의 애완 동물 사진을 업로드하고 인터넷 소셜 네트워크에서 친구 3명과 공유하고 각각 1시간씩 공유한다고 가정합니다. 그들은 다른 세 사람과 사진을 공유하고 후자는 한 시간 더 후에 각각 다른 세 사람과 사진을 공유합니다. 사람들; 그래서 계속됩니다. 사진을 받은 각 사람은 1시간 이내에 다른 3명과 사진을 공유합니다. 15시간 안에 얼마나 많은 사람들이 이미 사진을 가지고 있습니까?

해결책

다음 표는 첫 번째 계산을 보여줍니다.
시간 사진을 받는 사람 사진을 가진 사람
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

시간 \(n\) 동안 사진을 받는 사람의 수는 다음과 같습니다: \({{3}^{n}}\)

해당 시간에 이미 사진을 가지고 있는 사람의 수는 다음과 같습니다.

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

지원

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) 및 \(n=15\)

이로써:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

기하학적 수단

두 개의 숫자 \(a~\) 및 \(b,\)가 주어지면 숫자 \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\)는 \(k\) 수 \(a~\) 및 \(b\)의 기하학적 수단이라고 합니다. 시퀀스 \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\)가 기하 수열인 경우.

\(k\) 수 \(a~\) 및 \(b\)의 기하 수단 \(k\)의 값을 알기 위해서는 산술 수열의 비율을 아는 것으로 충분합니다. 이를 위해 다음을 고려해야 합니다.

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

위에서 우리는 관계를 설정합니다.

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(d\)를 풀면 다음을 얻습니다.

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

예제/연습 6. 숫자 -15와 1875 사이에서 2개의 기하 평균을 찾으십시오.

해결책

신청할 때

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(b=375,~a=-15\) 및 \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3가지 기하 평균은 다음과 같습니다.

\(75,-375\)

예제/연습 7. 어떤 사람이 6개월 동안 매달 돈을 투자하고 이자를 받았고 그의 자본금은 10% 증가했습니다. 이자율이 변하지 않는다고 가정했을 때, 월 이자율은 얼마였습니까?

해결책

\(C\)를 투자 자본이라고 하자. 최종 자본은 \(1.1C\)입니다. 이 문제를 해결하려면 공식을 적용하여 5개의 기하학적 수단을 배치해야 합니다.

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(k=5,~b=1.1C\) 및 \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

받은 월별 이율은 \(1.6%\)였습니다.