등가 분수의 정의

두 개 이상의 분수가 같은 양을 나타내는 경우, 즉 다음과 같은 경우 등가라고 합니다.
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
분수 \(\frac{a}{b}\)와 \(\frac{c}{d}\)는 동등하다고 합니다.

등가 분수: 그래픽 표현

4등분, 3등분, 8등분, 12등분으로 나눌 사각형을 생각해 보십시오.

이전 그림에서 우리는 다음과 같은 동등성을 알 수 있습니다.

하나 또는 여러 개의 등가 분수를 얻는 방법은 무엇입니까?

주어진 분수와 동등한 분수를 얻는 두 가지 기본 방법이 있습니다.

1. 분자와 분모에 동일한 양수를 곱합니다.

예:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. 분자와 분모의 동일한 양의 공약수로 나눕니다.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

분수에서 분자와 분모가 모두 1이 아닌 동일한 공통 약수로 나누어지면 분수가 감소되었다고 합니다.

기약 분수

분자와 분모의 최대공약수가 1인 분수를 기약분수라고 합니다.

\(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\)이면 분수 \(\frac{a}{b}\)를 기약 분수라고 합니다.

이 분수와 동등한 분수를 얻기 위해 분수 \(\frac{a}{b}\)가 주어지면 기약 분수 분자와 분자를 \(a\;\)의 최대 공약수로 나누고 \(비.\)

다음 표는 기약 분수와 환원 가능 분수의 예를 보여줍니다. 만약 그것이 환원될 수 있다면, 그것은 어떻게 기약할 수 없는 등가 분수를 얻는지 보여줍니다.

분수	최대 공약수	줄일 수 없는	기약할 수 없는 등가 분수
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	아니요	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	응	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	아니요	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	응	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	아니요	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

등가 분수: 구두 표현.

다음 표는 수치적 관점에서 동등한 정보를 표시하는 두 가지 다른 방법을 보여줍니다.

구어체	등가구(숫자)	입론
1930년 멕시코에서는 25명 중 4명이 모국어를 사용했습니다.	1930년 멕시코에서는 100명 중 16명이 모국어를 사용했습니다.	두 데이터 모두 4를 곱했습니다.
1960년 멕시코에서는 1,000명당 104명이 모국어를 사용했습니다.	1960년 멕시코에서는 125명 중 13명이 모국어를 사용했습니다.	두 데이터를 모두 8로 나누었습니다.

등가 분수: 소수 표현

아래 표는 다양한 십진수와 이를 나타내는 등가 분수를 보여줍니다.

십진수	분수	등가 분수	운영
\(0.25\)	0.25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0.25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1.4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0.145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0.145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

등가 분수: 백분율로 표시

아래 표는 다양한 십진수와 이를 나타내는 등가 분수를 보여줍니다.

십진수	분수	등가 분수	운영
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

등가 분수: 이종에서 동종으로

두 개의 이종 분수 \(\frac{a}{b}\) 및 \(\frac{c}{d}\)가 주어지면 두 개의 분수를 찾을 수 있습니다. 한 분수는 분수 \(\frac{a}{b}\;\)와 같고 다른 분수는 \(\frac{c}{d}\).

다음으로 이전 단락에서 언급한 작업을 수행하는 두 가지 절차를 보여드리겠습니다.

관찰해 봅시다:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

다음 표는 몇 가지 예를 보여줍니다.

에프. 이질적인	운영	에프. 동종의
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

이 방법의 단점은 프로세스에서 매우 많은 수가 생성될 수 있다는 것입니다. 많은 경우 분모의 최소 공배수를 계산하고 두 번째 방법은 최소 공배수 계산을 기반으로 하는 경우 이를 피할 수 있습니다.

분수 계산에서 최소 공배수

다음으로 두 가지 예를 통해 분모의 최소공배수를 이용하여 동차분수를 구하는 방법을 알아보겠습니다.

분수를 고려하십시오: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

\(12\)와 \(18\)의 최소공배수는 \(36\)입니다. 지금

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

이제 분수를 고려하십시오: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

\(10\), \(14\) 및 \(3\)의 최소 공배수는 \(140\)입니다. 지금

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

이전 수치에서 다음 사실을 알 수 있습니다.

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

다음은 다른 예입니다.

에프. 이질적인	분 공통 분모	운영	에프. 동종의
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)