탈레스의 정리는 어떻게 정의됩니까?

탈레스의 정리에 따르면 여러 평행선이 주어지면 각 평행선과 교차하는 직선 \(T\)는 평행선을 가로지른다고 합니다.

그림 1에서 \({T_1}\) 및 \({T_2}\) 선은 \({L_1}\) 및 \({L_2}.\) 평행선을 가로지릅니다.

탈레스의 정리(약한 버전)
여러 평행선이 두 횡단선 중 하나에서 합동 세그먼트(동일하게 측정됨)를 결정하는 경우 다른 횡단선에서도 합동 세그먼트를 결정합니다.

그림 2에서 검정색 선은 평행하며 다음을 수행해야 합니다.
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
우리는 다음을 보장할 수 있습니다.
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Miletus의 현명한 Thales는 Cheops 피라미드의 높이를 측정했다고합니다. 이를 위해 그는 그림자와 삼각형 유사성 속성을 사용했습니다. 탈레스의 정리는 삼각형의 유사성 개념을 발전시키는 데 기본이 됩니다.

비율과 비율의 속성

하나의 비율은 0이 아닌 제수가 있는 두 숫자의 몫입니다. 즉 말하자면:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{with\;}}b \ne 0\)

비율은 두 비율의 동등성입니다. 즉,

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\)는 비례 상수라고도 합니다.

비율의 속성

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)이면 \(m \ne 0:\;\)에 대해

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = 케이\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

예

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

세그먼트 \(\overline {AB} \) 및 \(\overline {CD} \) 쌍은 세그먼트 \(\overline {EF} \) 및 \(\overline {GH} \)에 비례한다고 합니다. 비율이 충족된 경우:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

여기서 \(AB\;\)는 세그먼트의 길이를 나타냅니다. \(\overline {AB} .\)

탈레스의 정리

정의로 돌아가서 여러 평행선이 횡단선에서 비례하는 해당 세그먼트를 결정합니다.

그림 3에서 직선은 평행하며 다음을 확인할 수 있습니다.

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

처음 두 개의 이전 비율은 다음 비율과 동일합니다.

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)위의 우리는 얻는다:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

대부분의 경우 이전 비율로 작업하는 것이 더 좋으며 이 경우에는 다음과 같습니다.

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

탈레스 정리의 역

여러 선이 횡단선에서 비례하는 해당 세그먼트를 결정하면 선이 평행합니다.

그림 4에서 충족되면

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

그런 다음 다음을 확인할 수 있습니다. \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

표기 \({L_1}\parallel {L_2}\), 읽기 \({L_1}\)는 \({L_2}\)와 병렬입니다.

이전 비율에서 다음을 얻습니다.

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

동일한 길이의 여러 부분으로 세그먼트 분할

구체적인 예를 통해 세그먼트를 동일한 길이의 부분으로 나누는 방법을 설명합니다.

세그먼트 \(\overline {AB} \)를 동일한 길이의 7개 세그먼트로 나눕니다.

초기 상황

세그먼트의 끝 중 하나를 통과하는 보조선을 그립니다.

나침반의 도움으로 동일한 길이의 7개 세그먼트가 보조선에 그려집니다.

마지막으로 그린 ​​선분의 끝과 분할할 선분의 다른 쪽 끝을 연결하는 선을 그립니다.

그들은 원주의 호가 보조선과 교차하는 지점을 통과하는 방금 그린 마지막 선과 평행하게 그려집니다.

세그먼트 \(\overline {AB} \)가 주어지면 세그먼트의 점 \(P\)는 세그먼트 \(\overline {AB} \)를 비율 \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

주어진 비율로 세그먼트 나누기

주어진 세그먼트 \(\overline {AB} \)와 두 개의 양의 정수 \(a, b\); 비율 \(\frac{a}{b};\;\)로 세그먼트를 나누는 점 \(P\)는 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

1. \(\overline {AB} \) 세그먼트를 동일한 길이의 \(a + b\) 세그먼트로 나눕니다.
2. 지점 \(A\)에서 세는 \(a\) 세그먼트를 가져옵니다.

예

세그먼트 \(\overline {AB} \)를 비율 \(\frac{a}{b}\)로 나누기

이유	세그먼트가 분할된 부품 수	점 \(P\)의 위치
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

탈레스 정리의 응용 예

신청 1: 그림 5와 같이 3개의 필지가 Sol street에서 Luna street까지 이어집니다.

측면 경계는 Luna Street에 수직인 세그먼트입니다. 솔 거리에 있는 부지의 총 폭이 120m인 경우 해당 거리에 있는 각 부지의 폭을 결정하십시오.

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

문제 설명

선이 Luna Street에 수직이므로 Thales의 정리를 적용하여 서로 평행합니다.

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)위의 결론을 내릴 수 있습니다.

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

마찬가지로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

해결책

비례 상수 \(k,\)를 결정하기 위해 비율 속성을 사용합니다.

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

위에서 우리는 다음을 얻습니다.
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\왼쪽( {10} \오른쪽) = 12.\)

유사하게:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left({40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 {5}\왼쪽( {30} \오른쪽) = 36\)

답변

분절	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
길이	12m	48분	24분	36분

신청 2: 그래픽 디자이너가 평행사변형 모양의 선반을 디자인하여 그림과 같이 3개의 선반을 배치합니다. 그림 6에서 점 E와 F는 면 \(\overline {AD} \) 및 \(\overline {BC} ,\)의 중간점입니다. 각기. 어셈블리를 만들 수 있으려면 선반을 잘라야 합니다. 선반의 어느 부분을 잘라야 합니까?

문제 설명: 문제에 주어진 조건으로 인해 다음이 충족됩니다.

\(ED = EA = CF = BF\)

보조 구성으로 측면 \(\overline {CB} \) 및 \(\overline {DA} \)를 확장합니다. 점 A를 통해 \(A\)를 통과하고 측면 \(\overline {EB} \)에 평행하게 선이 그려지고 점 \(C\;\)를 통해 측면 \(\overline에 평행하게 선이 그려집니다. {DF} \).

Thales의 정리를 적용하기 위해 \(\overline {EB} \) 및 \(\overline {DF} \) 세그먼트가 평행임을 보여주기 위해 탈레스 정리의 역을 사용할 것입니다.

해결책

구성에 의해 사변형 \(EAIB\)는 평행사변형이므로 평행사변형의 반대편이기 때문에 EA=BI가 됩니다. 지금:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

탈레스 정리의 역수를 역수에 적용하면 다음과 같이 결론을 내릴 수 있습니다.

\(\오버라인 {AI} \병렬 \오버라인 {EB} \병렬 \오버라인 {DF} \병렬 \오버라인 {JC} \)

세그먼트 \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)와 세그먼트 BC 및 CI를 횡단으로 취합니다. 처럼:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

횡단으로 \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \)와 세그먼트 \(\overline {AC} \) 및 \(\overline {EB} \)를 취하면 다음과 같습니다.

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

마찬가지로 다음과 같이 표시됩니다.

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

답변

다음과 같이 \(\overline {AC} \)는 점 \(G\;\) 및 \(H\)에서 대각선 절단해야 합니다.

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

선반 \(\overline {EB} \) 및 \(\overline {DF} \)도 마찬가지입니다.