전체 공간 예

수학적 분석은 다음과 같은 연구를 다루는 수학적 과학의 한 분야입니다. 전체 공간, 메트릭 공간의 한 유형입니다.

메트릭 공간은 포인트 쌍과 그 사이의 거리 함수로 구성됩니다. 이 공간에서이 두 지점 사이의 거리가 점점 더 작아짐에 따라 형성되는 코시 시퀀스를 정의 할 수 있습니다. 메트릭 공간에서 시퀀스에서 더 작은 거리를 찾을 수없는 경우 전체 공간. 닫힌 숫자 세트, 즉 한계가있는 세트는 완전한 공간입니다.

전체 공간의 예 :

0을 포함한 자연수 집합은이 집합이 0의 극값으로 닫히기 때문에 완전한 공간입니다. 이 숫자 집합의 표현은 다음과 같습니다. 엔= [0, 1, 2,… n}.

이 집합의 두 요소 사이에있는 두 점 (예: 4와 8)을 가져 와서 다음과 같이 표현합니다. p = (4, 8), 두 점 사이의 거리 함수는 4와 같고 Cauchy 시퀀스는 수렴하는 시퀀스 {4, 3, 2, 1, 0}에 의해 주어집니다. 0.

또 다른 예는 다음과 같이 표현되는 {0}로 형성된 양의 실수 세트입니다. 과⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. 엔},이 공간에 두 점이 주어지면 거리가 0 일 때 코시 시퀀스가 ​​수렴됩니다.

유리수 집합은 거리 0 (숫자 0은 이 세트에 존재) 이것은 코시 시퀀스 가이의 어느 지점에서도 수렴하지 않게 만듭니다. 세트.

자연수의 닫힌 간격은 완전한 공간입니다.