Mišrių, vienetinių, vienarūšių ir heterogeninių trupmenų apibrėžimas

Mišrus. Mišrią trupmeną sudaro sveikasis skaičius, didesnis arba lygus vienetui, ir tinkama trupmena, bendroji trupmenos rašyba mišrus yra tokios formos: \(a + \frac{c}{d},\), kurio kompaktiškas rašymas yra: \(a\frac{c}{d},\;\), tai yra: \(a\ trupmena{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Skaičius \(a\) vadinamas sveikąja mišrios trupmenos dalimi, o \(\frac{c}{d}\) – jos trupmenine dalimi.

vienalytis. Jei dvi ar daugiau trupmenų turi tą patį vardiklį, sakoma, kad jos yra kaip trupmenos. Pavyzdžiui, trupmenos \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) yra vienarūšiai, nes jie visi turi tą patį vardiklį, kuris šiuo atveju yra \(4\). Nors trupmenos \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) nėra vienarūšės trupmenos, nes \(\frac{5}{2}\) vardiklis yra \(2\), o kitų trupmenų vardiklis yra \(4\). Vienas iš vienalyčių trupmenų privalumų yra tas, kad funkcijų sudėjimo ir atimties aritmetinės operacijos yra labai paprastos.

nevienalytis. Jei dvi ar daugiau trupmenų, bent dvi iš jų neturi to paties vardiklio, tai šios trupmenos laikomos nevienalytėmis trupmenomis. Šios trupmenos yra nevienalytės: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

vienetinis. Trupmena identifikuojama kaip vienetas, jei skaitiklis lygus 1 \(1,\) \(2\). Šios trupmenos yra vienetų trupmenų pavyzdžiai: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Žodinė mišrios trupmenos išraiška

mišri frakcija	Žodinė išraiška
\(3\frac{1}{2} = \)	Trys su puse viso
\(5\frac{3}{4} = \)	Penki sveikieji skaičiai ir trys ketvirčiai
\(10\frac{1}{8} = \)	Dešimt sveikųjų skaičių su aštuntuku

Mišrios trupmenos pavertimas netinkama trupmena

Mišrios frakcijos yra naudingos vertinimui, pavyzdžiui, nesunku nustatyti:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Tačiau mišrios trupmenos paprastai yra nepraktiškos atliekant tokias operacijas kaip daugyba ir padalijimas, todėl svarbu, kaip konvertuoti į mišrią trupmeną.

Ankstesnė figūra rodo mišrią trupmeną \(2\frac{3}{4}\), dabar kiekvienas sveikasis skaičius susideda iš keturi ketvirčiai, taigi 2 sveikieji skaičiai yra 8 ketvirčiai ir prie jų turime pridėti kitus 3 ketvirčius, tai yra sakyk:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Paprastai:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Toliau pateiktoje lentelėje pateikti kiti pavyzdžiai.

mišri frakcija	Operacijos, kurias reikia atlikti	netinkama trupmena
\(3\frak{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frak{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frak{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Netinkamos trupmenos pavertimas mišriąja trupmena

Norėdami konvertuoti neteisingą trupmeną į mišrią trupmeną, apskaičiuokite dalinį ir skaitiklio dalijimo iš vardiklio likutį. Gautas koeficientas bus sveikoji mišriosios trupmenos dalis, o tinkama trupmena bus \(\frac{{{\rm{remainder}}}}{{{\rm{vardiklis}}}}\)

Pavyzdys

Norėdami konvertuoti \(\frac{{25}}{7}\) į mišrią trupmeną:

Už atliktas operacijas gauname:

Žemiau esančioje lentelėje pateikti kiti pavyzdžiai.

netinkama trupmena	Dalinio ir liekanos apskaičiavimas	netinkama trupmena
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frak{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frak{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frak{1}{5}\)

Kasdienis mišrių ir tinkamų frakcijų naudojimas

Kasdieniame gyvenime reikia matuotis, pirkti, lyginti kainas, siūlyti nuolaidas; matuoti mums reikia matavimo vienetų ir jie ne visada siūlo visus gaminių vienetus ir ne visada atsiskaitote visu vieneto monetų kiekiu.

Pavyzdžiui, įprasta, kad tam tikri skysčiai parduodami induose, kurių turinys yra \(\frac{3}{4}\;\) litro, pusė galono arba pusantro galono. Galbūt eidami pirkti vamzdelio paprašysite \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) ir jums nereikia sakyti matavimo vieneto, kuris šiuo atveju yra colis.

Pagrindinės panašių trupmenų operacijos

\(\frac{3}{4}\) ir \(\frac{2}{4}\) sumos pavyzdys parodytas šioje schemoje:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Kol atimtis atliekama taip:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Apskritai homogeninėms frakcijoms:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Egiptiečiai ir vienetų trupmenos

Egipto kultūra pasiekė nepaprastą technologinį vystymąsi, ir tai nebūtų įvykę be matematikos tobulėjimo. Yra istorinių liekanų, kur galima rasti įrašų apie trupmenų naudojimą Egipto kultūroje, su ypatumu, jie naudojo tik vienetines trupmenas.

Yra keletas atvejų, kai parašyti trupmeną kaip vienetų trupmenų sumą yra taip paprasta, kaip

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

Tuo atveju, kai \(n = 2q + 1\), tai yra nelyginis, turime:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Iliustruosime tai dviem pavyzdžiais.

Norėdami išreikšti \(\frac{2}{{11}}\); šiuo atveju turime \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), todėl:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

tai yra,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Norėdami išreikšti \(\frac{2}{{17}}\); šiuo atveju turime \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Toliau parodome kai kurias trupmenas kaip vienetų trupmenų sumą,

Frakcija	Išraiška kaip vienetų trupmenų suma	Frakcija	Išraiška kaip vienetų trupmenų suma
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Naudodami ankstesnę lentelę galime sudėti trupmenas ir išreikšti tokias sumas; kaip vieneto trupmenų suma.

Heterogeninių frakcijų pavyzdžiai

1 pavyzdys

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

2 pavyzdys

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Galiausiai tą pačią trupmeną galime išreikšti kaip vienetų trupmenų sumą kitaip:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)