Bernulio principo / lygties apibrėžimas

Bernulio principas, dažnai dar vadinamas Bernulio lygtimi, yra viena iš svarbiausių hidrodinamikos ir skysčių mechanikos sąvokų. Ją suformulavo šveicarų fizikas ir matematikas Danielis Bernoulli 1738 m. kaip savo darbo dalį.hidrodinamika“ ir dalis energijos išsaugojimo idealiame judančiame skystyje.

Įsivaizduokime tokią situaciją: Turime žarną, kuria teka vanduo, kuris tam tikru greičiu ir slėgiu palieka žarną. Tada pirštu iš dalies uždengiame žarnos išėjimo angą; tai darydami matome, kaip vanduo dabar išteka didesniu greičiu. Tai yra Bernoulli principo veikimo pavyzdys.

Idealūs skysčiai judant

Bernoulli principas taikomas idealiems skysčiams judant, todėl prieš aiškinantis šį principą svarbu paminėti, ką turime omenyje sakydami idealų skystį. Idealus skystis yra tikrojo skysčio supaprastinimas, tai daroma dėl skysčio aprašymo idealus yra matematiškai paprastesnis ir suteikia mums naudingų rezultatų, kuriuos vėliau galima pritaikyti skystam atvejui tikras.

Yra keturios prielaidos, kurios daromos norint, kad skystis būtų idealus, ir visos jos yra susijusios su srautu:

• Pastovus srautas: pastovus srautas yra toks, kai skysčio judėjimo greitis yra vienodas bet kuriame erdvės taške. Kitaip tariant, darome prielaidą, kad skystis nepatiria turbulencijos.

• Nesuspaudžiamumas: taip pat daroma prielaida, kad idealus skystis yra nesuspaudžiamas, tai yra, kad jo tankis visą laiką yra pastovus.

• Neklampumas: klampumas yra skysčių savybė, kuri, bendrai kalbant, parodo pasipriešinimą, kurį skystis prieštarauja judėjimui. Klampumas gali būti laikomas analogišku mechaninei trinčiai.

• Irrotacinis srautas: su šia prielaida kalbame apie tai, kad judantis skystis nevykdo jokio apskrito judėjimo aplink bet kurį savo kelio tašką.

Darydami šias prielaidas ir turėdami idealų skystį, labai supaprastiname matematinį gydymą ir taip pat užtikriname energijos taupymą, kuris yra atspirties taškas link principo Bernulis.

Bernulio lygtis paaiškinta

Panagrinėkime idealų skystį, judantį vamzdžiu, kaip parodyta toliau pateiktame paveikslėlyje:

Dabar naudosime darbo ir kinetinės energijos teoremą, kuri yra dar vienas būdas išreikšti energijos tvermės dėsnį. Tai mums sako, kad:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Kur \(W\) yra bendras mechaninis darbas, o \({\rm{\Delta }}K\) yra kinetinės energijos pokytis tarp dviejų taškų. Šioje sistemoje yra dviejų tipų mechaninis darbas: vienas atliekamas veikiant skysčio gravitacijos jėgai, o kitas - dėl skysčio slėgio. Tegul \({W_g}\) yra mechaninis gravitacijos darbas, o \({W_p}\) yra mechaninis darbas, kurį atlieka slėgis, tada galime pasakyti, kad:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Kadangi gravitacija yra konservatyvi jėga, jos atliktas mechaninis darbas bus lygus gravitacinės potencialios energijos skirtumui tarp dviejų taškų. Pradinis aukštis, kuriame randamas skystis, yra \({y_1}\), o galutinis aukštis yra \({y_2}\), todėl turime:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Kur \({\rm{\Delta }}m\) yra skysčio masės dalis, kuri praeina per tam tikrą tašką, o \(g\) yra pagreitis dėl gravitacijos. Kadangi idealus skystis yra nesuspaudžiamas, tada \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Kur \(\rho \) yra skysčio tankis, o \({\rm{\Delta }}V\) yra tūrio dalis, tekanti per tašką. Pakeitę tai į aukščiau pateiktą lygtį, gauname:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Dabar panagrinėkime mechaninį darbą, kurį atlieka skysčio slėgis. Slėgis yra jėga, veikiama ploto vienetui, ty \(F = PA\). Kita vertus, mechaninis darbas apibrėžiamas kaip \(W = F{\rm{\Delta }}x\), kur \(F\) yra taikoma jėga ir \({\rm{\Delta }}x\) yra poslinkis, šiuo atveju atliktas x ašyje. Šiame kontekste galime galvoti apie \({\rm{\Delta }}x\) kaip skysčio dalies, tekančios per tam tikrą tašką, ilgį. Sujungus abi lygtis gauname, kad \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Galime suprasti, kad \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), tai yra, tai yra tūrio dalis, kuri teka per tą tašką. Todėl turime, kad \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Pradiniame taške sistemoje atliekamas mechaninis darbas, lygus \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) ir galutiniame taške sistema atlieka mechaninį aplinkos darbą lygų \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Tada mechaninis darbas dėl skysčio slėgio bus darbas, atliktas sistemoje, atėmus darbą, kurį ji atlieka aplinkai, ty:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \kairė( {{P_1} – {P_2}} \dešinė){\rm {\Delta }}V\)

Galiausiai, kinetinės energijos skirtumas \({\rm{\Delta }}K\) bus lygus kinetinei energijai pabaigos taške, atėmus kinetinę energiją pradžios taške. Tai yra:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, žinome, kad \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Aukščiau pateikta lygtis yra tokia:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Pakeitus visus energijos tvermės lygtyje gautus rezultatus, gaunama, kad:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Galime įskaičiuoti terminą \({\rm{\Delta }}V\) abiejose lygties pusėse, todėl:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \dešinė)\)

Kurdami trūkstamus produktus, turime:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Pertvarkydami visus terminus abiejose lygties pusėse, gauname, kad:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Ši lygtis yra ryšys tarp pradinės ir galutinės mūsų sistemos būsenos. Pagaliau galime pasakyti:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = pastovus\)

Ši paskutinė lygtis yra Bernulio lygtis, iš kurios gaunamas jos principas. Bernulio principas yra idealaus judančio skysčio išsaugojimo dėsnis.

Nuorodos

Davidas Halliday, Robertas Resnickas ir Jearlas Walkeris. (2011). Fizikos pagrindai. Jungtinės Valstijos: John Wiley & Sons, Inc.