Kas ir Maksvela vienādojumi un kā tie tiek definēti?

Eņģelis Zamora Ramiress | jūl. 2022
Fizikas grāds

Pirms šiem vienādojumiem tika teikts, ka elektriskie un magnētiskie spēki ir "spēki no attāluma", nebija zināmi fiziski līdzekļi, ar kuriem varētu notikt šāda veida mijiedarbība. Pēc daudzu gadu pētījumiem par elektrība Y magnētismsMaikls Faradejs uzskatīja, ka telpā starp lādiņiem un elektriskajām strāvām ir jābūt kaut kam fiziskam, kas ļautu tiem mijiedarboties savā starpā un izpaust visu Zināmas elektriskās un magnētiskās parādības viņš sākumā sauca par "spēka līnijām", kas radīja domu par elektromagnētiskā lauka esamību.

Balstoties uz Faradeja ideju, Džeimss Klerks Maksvels izstrādā lauka teoriju, ko attēlo četri daļēji diferenciālvienādojumi. Maksvels to sauca par "elektromagnētisko teoriju" un bija pirmais, kas iekļāva šāda veida matemātisko valodu fizikālajā teorijā. Maksvela vienādojumi to diferenciālajā formā vakuumam (tas ir, ja nav dielektrisku un/vai polarizējamu materiālu) ir šādi:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Maksvela vienādojumi vakuumam tā diferenciālā formā

Kur \(\vec{E}~\)ir elektriskais lauks, \(\vec{B}~\) ir magnētiskais lauks, \(\rho ~\)ir blīvums elektriskais lādiņš, \(\vec{J}~~\) ir vektors, kas saistīts ar a elektriskā strāva, \({{\epsilon }_{0}}~\) ir vakuuma elektriskā caurlaidība un \({{\mu }_{0}}~~\) ir vakuuma magnētiskā caurlaidība. Katrs no šiem vienādojumiem atbilst a likumu elektromagnētismu un tam ir nozīme. Tālāk es īsi paskaidrošu katru no tiem.

Gausa likums

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gausa likums elektriskajam laukam

Šis pirmais vienādojums mums saka, ka elektriskie lādiņi ir elektriskā lauka avoti, šis elektriskais lauks “atšķiras” tieši no lādiņiem. Turklāt elektriskā lauka virzienu nosaka elektriskā lādiņa zīme, kas to rada, un tas, cik tuvu atrodas lauka līnijas, norāda paša lauka lielumu. Zemāk redzamais attēls nedaudz apkopo tikko pieminēto.

1. ilustrācija. No Studiowork.- Diagramma ar elektriskajiem laukiem, ko rada divi punktveida lādiņi, viens pozitīvs un viens negatīvs.

Šis likums ir parādā savu nosaukumu matemātiķim Johanam Kārlim Frīdriham Gausam, kurš to formulēja, pamatojoties uz viņa diverģences teorēmu.

Gausa likums magnētiskajam laukam

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gausa likums magnētiskajam laukam

Šim likumam nav konkrēta nosaukuma, bet to tā sauc, jo tas ir līdzīgs iepriekšējam vienādojumam. Šī izteiciena nozīme ir tāda, ka nav "magnētiskā lādiņa", kas būtu analogs "elektriskajam lādiņam", tas ir, nav magnētisko monopolu, kas ir magnētiskā lauka avots. Šī iemesla dēļ, ja mēs sadalīsim magnētu uz pusēm, mums joprojām būs divi līdzīgi magnēti, gan ar ziemeļpolu, gan ar dienvidu polu.

Faradeja likums

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faradeja indukcijas likums

Šis ir slavenais indukcijas likums, ko formulēja Faradejs, kad 1831. gadā viņš atklāja, ka mainīgie magnētiskie lauki spēj izraisīt elektriskās strāvas. Šis vienādojums nozīmē, ka magnētiskais lauks, kas laika gaitā mainās, spēj inducēt ap to elektriskais lauks, kas savukārt var izraisīt elektrisko lādiņu pārvietošanos un radīt a straume. Lai gan sākumā tas var izklausīties ļoti abstrakti, Faradeja likums ir aiz motoru, elektrisko ģitāru un indukcijas plīts virsmu darbības.

Ampēra-Maksvela likums

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Pirmais, ko šis vienādojums mums saka, ir tas, ka elektriskās strāvas rada magnētiskos laukus ap strāvas virzienu un ka ģenerētā magnētiskā lauka lielums ir atkarīgs no tā lieluma, to novēroja Orsteds, un vēlāk Ampērs spēja formulēt. Tomēr aiz šī vienādojuma slēpjas kaut kas dīvains, un tas ir otrais termins malā likumu vienādojuma daļu ieviesa Maksvels, jo šī izteiksme sākotnēji bija nekonsekventa ar citiem, jo ​​īpaši, tas noveda pie elektriskā lādiņa nezūdamības likuma pārkāpuma. Lai no tā izvairītos, Maksvels vienkārši ieviesa šo otro terminu, lai visa viņa teorija būtu konsekventa, šis termins saņēma nosaukumu "pārvietošanas strāva", un tajā laikā nebija eksperimentālu pierādījumu, kas to atbalstītu. dublēsies

2. attēls. De Rumruay.- Elektriskā strāva, kas plūst caur kabeli, rada magnētisko lauku ap to saskaņā ar Ampēra likumu.

Nobīdes strāvas nozīme ir tāda pati kā magnētiskajam laukam mainīgais inducē elektrisko lauku, elektriskais lauks, kas mainās laika gaitā, spēj radīt lauku magnētisks. Pirmais eksperimentālais pārvietošanas strāvas apstiprinājums bija eksistences demonstrēšana elektromagnētiskie viļņi, ko Heinrihs Hercs 1887. gadā, vairāk nekā 20 gadus pēc teorijas publicēšanas. Maksvels. Tomēr pirmo tiešo pārvietošanas strāvas mērījumu veica M. R. Van Cauwenberghe 1929. gadā.

gaisma ir elektromagnētiskais vilnis

Viena no pirmajām prātam neaptveramajām prognozēm, ko sniedz Maksvela vienādojumi, ir esamība elektromagnētiskie viļņi, bet ne tikai, tie arī atklāja, ka gaismai ir jābūt šī vilnim Tips. Lai to nedaudz redzētu, mēs spēlēsim ar Maksvela vienādojumiem, bet pirms tam šeit ir jebkura viļņu vienādojuma forma:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Viļņu vienādojuma vispārīgā forma trīs dimensijās.

Kur \({{\nabla }^{2}}\) ir Laplasijas operators, \(u\) ir viļņa funkcija un \(v\) ir viļņa ātrums. Mēs strādāsim arī ar Maksvela vienādojumiem tukšā telpā, tas ir, ja nav elektrisko lādiņu un elektrisko strāvu, tikai elektriskie un magnētiskie lauki:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Un mēs izmantosim arī sekojošo identitāte vektora aprēķins:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Ja mēs izmantojam šo identitāti elektriskajiem un magnētiskajiem laukiem, izmantojot Maksvela vienādojumus tukšai vietai, mēs iegūstam šādus rezultātus:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\daļēja {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\daļēja {{t}^{2}}}\)

Ņemiet vērā šo vienādojumu līdzību ar iepriekš minēto viļņu vienādojumu secinājums, elektriskie un magnētiskie lauki var darboties kā viļņi (elektromagnētiskie viļņi). Ja mēs definējam šo viļņu ātrumu kā \(c\) un salīdzinām šos vienādojumus ar iepriekš minēto viļņu vienādojumu, mēs varam teikt, ka ātrums ir:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) un \({{\epsilon }_{0}}\) ir attiecīgi vakuuma magnētiskā caurlaidība un elektriskā caurlaidība, un abas ir konstantes universālas, kuru vērtības ir \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) un \({{\ epsilons } 0}}=8,8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), aizvietojot šīs vērtības, mēs iegūstam, ka \(c\) vērtība ir \(c=299 792 458\frac{m}{s}\apmēram 300 000 ~ km/s\), kas ir tieši ātrums gaisma.

Izmantojot šo nelielo analīzi, mēs varam izdarīt trīs ļoti svarīgus secinājumus:

1) Elektriskie un magnētiskie lauki var uzvesties kā viļņi, tas ir, ir elektromagnētiskie viļņi, kas arī spēj izplatīties caur vakuumu.

2) Gaisma ir elektromagnētiskais vilnis, kura ātrums ir atkarīgs no magnētiskās caurlaidības un caurlaidības Videi, caur kuru tā izplatās, tukšā telpā gaismas ātrums ir aptuveni 300 000 km/s.

3) Tā kā magnētiskā caurlaidība un elektriskā caurlaidība ir universālas konstantes, tad gaismas ātrums ir arī universāla konstante, taču tas arī nozīmē, ka tā vērtība nav atkarīga no ietvaros no kā to mēra.

Šis pēdējais apgalvojums tolaik bija ļoti pretrunīgs.Kā tas ir iespējams, ka ātrums gaisma ir vienāda neatkarīgi no tās mērītāja kustības un gaismas avota kustības. gaisma? Kaut kā ātrumam ir jābūt relatīvam, vai ne? Tas bija tā laika fizikas pavērsiens, un šī vienkāršā, bet dziļā fakta rezultātā Alberts Einšteins 1905. gadā izstrādāja īpašās relativitātes teoriju.