Aritmētiskās progresijas definīcija

Ciparu secību \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) sauc par aritmētisko progresiju, ja starpība starp diviem secīgiem skaitļiem ir vienāda ar to pašu skaitli \(d\), tas ir jā:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Skaitli \(d\) sauc par aritmētiskās progresijas starpību.

Elementu \({a_1}\) sauc par pirmo aritmētiskās secības elementu.

Aritmētiskās progresijas elementus var izteikt ar pirmo elementu un tā starpību, tas ir:

\({a_1},{a_1}+d,{a_1}+2d,{a_1}+3d\)

Tie ir pirmie četri aritmētiskās progresijas elementi; Kopumā \(k – \)-tais elements tiek izteikts šādi:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k - 1} \right) d\)

No iepriekš minētās izteiksmes mēs iegūstam:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \kreisais( {k – 1} \labais) d – \kreisais( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

Iepriekš minētā izteiksme ir līdzvērtīga:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Aritmētiskajai progresijai piemēroti piemēri

1. Atrodiet aritmētiskās progresijas atšķirību: \(3,8,13,18, \ldots \) un atrodiet elementus \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Risinājums

Tā kā \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), mēs varam secināt, ka atšķirība ir:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \kreisais( {20–1} \labais) d = 3 + 19\kreisais( 5 \labais) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \kreisais( {99–1} \labais) d = 3 + 98\kreisais( 5 \labais) = 493\)

2. Aritmētiskajā progresijā mums ir: \({a_{17}} = 20\;\) un \({a_{29}} = – 130\), nosaka aritmētiskās progresijas starpību un ieraksta pirmos 5 elementus.

Risinājums

Valkājot

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \pa kreisi( {29–17} \pa labi) d\)

\( – 130 – 20 = \kreisais( {12} \labais) d\)

\(–150 = \pa kreisi( {12} \pa labi) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Lai atrastu pirmos 5 elementus; mēs aprēķināsim \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k - 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \kreisais( {17–1} \labais)\kreisais( { – \frac{{25}}{2}} \labais)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1}–200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Pirmie 5 elementi ir:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Daudzstūru skaitļi un aritmētiskās progresijas pirmo \(n\) elementu summa

trīsstūrveida skaitļi

Trīsstūrveida skaitļus \({T_n}\;\) veido no aritmētiskās progresijas: \(1,2,3,4 \ldots \); šādā veidā.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

kvadrātu skaitļi

Kvadrātskaitļi \({C_n}\;\) tiek veidoti no aritmētiskās progresijas: \(1,3,5,7 \ldots \); sekojoši

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

piecstūra skaitļi

Kvadrātskaitļi \({P_n}\;\) tiek veidoti no aritmētiskās progresijas: \(1,3,5,7 \ldots \); sekojoši

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Tālāk mēs parādīsim formulu, lai atrastu aritmētiskās progresijas pirmo \(n\) elementu summu.

Ņemot vērā aritmētisko progresiju, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) d\). Lai aprēķinātu summu \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\), varat izmantot formulu:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

kas ir līdzvērtīgs

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Izmantojot iepriekšējo formulu, tiek iegūtas formulas trīsstūrveida, kvadrātveida un piecstūra skaitļu aprēķināšanai; kas ir parādīti nākamajā tabulā.

daudzstūra skaitlis	\({a_1}\)	\(d\)	Formula
Trīsstūrveida \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Kvadrāts \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Piecstūra \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Piemērs par daudzstūru skaitļiem

3. No 2. piemēra aprēķiniet \({S_{33}}\).

Risinājums

Šajā gadījumā \({a_1} = 200\) un \(d = – \frac{{25}}{2}\)

piesakoties

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\kreisais( {400 + 16\kreisais( { – 25} \labais)} \labais) = 17\kreisais( 0 \labais) = 0\)

aritmētiskie līdzekļi

Doti divi skaitļi \(a\;\) un \(b,\), skaitļi \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) tiek saukti par \(k\) nozīmēm aritmētiskie skaitļi \(a\;\) un \(b\); ja secība \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) ir aritmētiskā progresija.

Lai zinātu skaitļu \(a\;\) un \(b\) vidējo aritmētisko vērtību \(k\), pietiek zināt aritmētiskās progresijas atšķirību, lai to izdarītu uzskatīja:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \lpunkti ,{a_{k + 1}}, {a_{k + 2}} = b,\)

No iepriekš minētā mēs izveidojam attiecības:

\(b = a + \pa kreisi( {k + 2 – 1} \labais) d\)

Atrisinot \(d\), mēs iegūstam:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

piemēri

4. Atrodiet 7 vidējos aritmētiskos starp skaitļiem -5 un 25.

Risinājums

Piesakoties

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

ar \(b = 25,\;a = – 5\) un \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 vidējie aritmētiskie ir:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Viens cilvēks iedeva 2000 USD kā pirmo iemaksu ledusskapja iegādei, bet pārējo samaksāja ar savu kredītkarti 18 mēnešus bez procentiem. Viņam jāmaksā 550 USD mēnesī, lai nokārtotu parādu, ko viņš ieguva, lai samaksātu par savu ledusskapi.

uz. Kādas ir ledusskapja izmaksas?

b. Ja atlikušo daļu esat samaksājis 12 mēnešu laikā bez procentiem, cik liels būtu ikmēneša maksājums?

Risinājums

uz. Šajā gadījumā:

\({a_{19}} = 2000 + 18\left( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Starp skaitļiem 2000 un 11900 jāatrod 11 vidējie aritmētiskie, kuriem:

\(d = \frac{{11900–2000}}{{12}} = 825\)

5. Ņemot vērā secību \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\), atrodiet šādus 3 elementus un elementa \(n\) vispārējo izteiksmi.

Risinājums

Attiecīgā secība nav aritmētiska progresija, jo \(22 – 7 \ne 45 – 22\), bet mēs varam veidot secība ar divu secīgu elementu atšķirībām, un nākamajā tabulā parādīta rezultāti:

Secības elementi \({b_n}\)	Secība \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2}–{c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3}–{c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4}–{c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5}–{c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6}–{c_5} = 8\)

Iepriekš minētās tabulas trešā kolonna norāda, ka secība \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); ir aritmētiskā secība, kuras starpība ir \(d = 8\).

Tālāk mēs ierakstīsim secības \({b_n}\) elementus secībā \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Kopumā jums ir:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Piesakoties

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Ar \({c_1} = 7\) un \(d = 8,\) mēs iegūstam:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n - 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n - 1} \right)} \right)\)

\({b_n} = n\pa kreisi( {4n + 3} \pa labi)\)

Lietojot iepriekšējo formulu: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)