Definitie van Bernoulli's Principe/Vergelijking

Het principe van Bernoulli, vaak ook de vergelijking van Bernoulli genoemd, is een van de belangrijkste concepten in de hydrodynamica en vloeistofmechanica. Het werd geformuleerd door de Zwitserse natuurkundige en wiskundige Daniel Bernoulli in 1738 als onderdeel van zijn werk "hydrodynamica” en een deel van het behoud van energie in een ideale vloeistof in beweging.

Laten we ons de volgende situatie voorstellen: We hebben een slang waar water doorheen stroomt, die de slang verlaat met een bepaalde snelheid en een bepaalde druk. Daarna gaan we verder met het gedeeltelijk bedekken van het uitlaatgat van de slang met een vinger; door dit te doen zien we hoe het water nu met grotere snelheid naar buiten komt. Dit is een voorbeeld van het principe van Bernoulli in actie.

Ideale vloeistoffen in beweging

Het principe van Bernoulli is van toepassing op ideale vloeistoffen in beweging, dus voordat we verder gaan met het uitleggen van dit principe, is het belangrijk om te vermelden wat we bedoelen met ideale vloeistof. Een ideale vloeistof is een vereenvoudiging van een echte vloeistof, dit wordt gedaan vanwege de beschrijving van een vloeistof ideaal is wiskundig eenvoudiger en geeft ons bruikbare resultaten die later kunnen worden uitgebreid naar het vloeistofgeval echt.

Er zijn vier aannames die worden gedaan om een ​​vloeistof als ideaal te beschouwen en ze hebben allemaal te maken met stroming:

• Constante stroom: Een constante stroom is er een waarbij de snelheid waarmee de vloeistof beweegt overal in de ruimte dezelfde is. Met andere woorden, we nemen aan dat de vloeistof geen turbulentie ondergaat.

• Onsamendrukbaarheid: er wordt ook aangenomen dat een ideale vloeistof onsamendrukbaar is, dat wil zeggen dat het te allen tijde een constante dichtheid heeft.

• Niet-viscositeit: viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen die, in algemene termen, de weerstand vertegenwoordigt die de vloeistof tegenwerkt aan beweging. Viscositeit kan worden gezien als analoog aan mechanische wrijving.

• Irroterende stroming: Met deze aanname verwijzen we naar het feit dat de bewegende vloeistof geen enkele vorm van cirkelvormige beweging uitvoert rond enig punt van zijn pad.

Door deze veronderstellingen te maken en een ideale vloeistof te hebben, vereenvoudigen we de wiskundige behandeling enorm we zorgen ook voor het behoud van energie, wat het uitgangspunt is voor het principe van Bernoulli.

Bernoulli's vergelijking uitgelegd

Laten we eens kijken naar een ideale vloeistof die door een pijp beweegt, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:

We zullen nu de stelling van arbeid en kinetische energie gebruiken, wat een andere manier is om de wet van behoud van energie uit te drukken, dit vertelt ons dat:

\(W = {\rm{\Delta}}K\)

Waar \(W\) de totale mechanische arbeid is en \({\rm{\Delta}}K\) de verandering in kinetische energie tussen twee punten is. In dit systeem hebben we twee soorten mechanisch werk, een die wordt gedaan door de zwaartekracht op de vloeistof en een andere die het gevolg is van de druk van de vloeistof. Laat \({W_g}\) het mechanische werk zijn dat wordt verricht door de zwaartekracht en \({W_p}\) het mechanische werk dat wordt verricht door druk, dan kunnen we zeggen dat:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta}}K\)

Aangezien zwaartekracht een conservatieve kracht is, zal het mechanische werk dat erdoor wordt verricht gelijk zijn aan het verschil in potentiële zwaartekrachtenergie tussen twee punten. De aanvankelijke hoogte waarop de vloeistof wordt gevonden is \({y_1}\) en de uiteindelijke hoogte is \({y_2}\), daarom hebben we:

\({W_g} = – {\rm{\Delta}}mg{\rm{\Delta}}y = – {\rm{\Delta}}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Waarbij \({\rm{\Delta}}m\) het deel van de massa vloeistof is dat door een bepaald punt gaat en \(g\) de versnelling als gevolg van de zwaartekracht is. Aangezien de ideale vloeistof onsamendrukbaar is, dan is \({\rm{\Delta}}m = \rho {\rm{\Delta}}V\). Waar \(\rho \) de dichtheid van de vloeistof is en \({\rm{\Delta}}V\) het deel van het volume is dat door een punt stroomt. Als we dit in de bovenstaande vergelijking substitueren, krijgen we:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\links( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Laten we nu eens kijken naar het mechanische werk dat wordt verricht door de druk van de vloeistof. Druk is de kracht die wordt uitgeoefend per oppervlakte-eenheid, dat wil zeggen \(F = PA\). Aan de andere kant wordt mechanisch werk gedefinieerd als \(W = F{\rm{\Delta}}x\) waarbij \(F\) de uitgeoefende kracht is en \({\rm{\Delta}}x\) is de verplaatsing die in dit geval op de x-as wordt uitgevoerd. In deze context kunnen we \({\rm{\Delta }}x\) zien als de lengte van het gedeelte vloeistof dat door een bepaald punt stroomt. Als we beide vergelijkingen combineren, hebben we dat \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). We kunnen ons realiseren dat \(A{\rm{\Delta}}x = {\rm{\Delta}}V\), dat wil zeggen, het is het deel van het volume dat door dat punt stroomt. Daarom hebben we dat \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Op het beginpunt wordt mechanisch werk gedaan aan het systeem gelijk aan \({P_1}{\rm{\Delta}}V\) en op het eindpunt doet het systeem mechanisch werk aan de omgeving gelijk aan \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Het mechanische werk als gevolg van de druk van de vloeistof is dan het werk dat aan het systeem wordt gedaan minus het werk dat het aan zijn omgeving doet, dat wil zeggen dat:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta}}V\)

Uiteindelijk zal het verschil in kinetische energie \({\rm{\Delta}}K\) gelijk zijn aan de kinetische energie op het eindpunt minus de kinetische energie op het startpunt. Dat is:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\links( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Uit het bovenstaande weten we dat \({\rm{\Delta}}m = \rho {\rm{\Delta}}V\). De bovenstaande vergelijking is dan als:

\({\rm{\Delta}}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta}}V\links( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Door alle verkregen resultaten in de energiebesparingsvergelijking te vervangen, wordt verkregen dat:

\(\links( {{P_1} – {P_2}} \rechts){\rm{\Delta}}V – \rho {\rm{\Delta}}V\links( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta}}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

We kunnen de term \({\rm{\Delta }}V\) ontbinden aan beide kanten van de vergelijking, dit leidt tot:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \rechts)\)

Bij het ontwikkelen van de ontbrekende producten moeten we:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Als we alle termen aan beide kanten van de vergelijking herschikken, krijgen we dat:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Deze vergelijking is een relatie tussen de begintoestand en de eindtoestand van ons systeem. We kunnen eindelijk zeggen dat:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = constant\)

Deze laatste vergelijking is de Bernoulli-vergelijking waarvan het principe is afgeleid. Het principe van Bernoulli is een behoudswet voor een ideale vloeistof in beweging.

Referenties

David Halliday, Robert Resnick en Jearl Walker. (2011). Grondbeginselen van de natuurkunde. Verenigde Staten: John Wiley & Sons, Inc.