Hva er Dirac-ligningen, og hvordan defineres den?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) foreslo på slutten av 1928 en av ligningene med størst betydning og implikasjoner i dagens fysikk, og dette er fordi den forener kvantemekanikkens prinsipper med prinsippene til kvantemekanikk. relativt.

Sitat (APA)

Evelyn Maitee Marin | august 2022
Industriingeniør, MSc i fysikk og EdD

Denne ligningen kan uttrykkes på flere måter, den mest kompakte og forenklede er det som regnes som en av de mest estetiske ligningene i vitenskapen:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Hvor:
i: imaginær enhet
m: hvilemasse til elektronet
ħ: Plancks reduserte konstant
c: hastighet av lyset
: summeringsoperator av partielle derivater
: matematisk bølgefunksjon til elektronet

Den absolutte verdien av kvadratet til bølgefunksjonen representerer sannsynlighet å finne partikkelen i en bestemt posisjon, med tanke på dens Energi, hastighet, blant andre parametere, så vel som dens utvikling i tiden. Med andre ord, Paul Dirac-ligningen bruker matriser som virker på vektorer og representerer en utvikling av Schrödinger-ligningen i relativistisk kvantefysikk.

Dirac-ligningen ble opprinnelig brukt for å beskrive oppførselen til et elektron blottet for interaksjon, selv om dens anvendelighet strekker seg til beskrivelse av subatomære partikler når de beveger seg med hastigheter nær lysets hastighet. Dirac klarte å forklare på subatomær skala den doble oppførselen til bølge og partikkel som allerede var kjent på den tiden, siden han vurderte egenskapene til partikler som vinkelmomentum iboende eller spinn.

Et annet av de betydelige bidragene til Dirac-ligningen er spådommen om antimaterie, hvis eksistens senere ble demonstrert (i 1932) av Carl D. Anderson ved å bruke et skykammer som han identifiserte positronet med. Det forklarer også i stor grad den fine strukturen identifisert i atomspektrallinjer.

Bildet viser det berømte fotografiet tatt under "Photons and Electrons"-konferansen i 1927 hvor noen av de mest fremragende vitenskapsmennene i historien er portrettert. I den himmelske omkretsen er Paul Dirac.

Dirac ligningsbakgrunn

For å forstå hensynene tatt av Dirac i utviklingen av ligningen hans, så vel som basert på tilnærmingen hans, er det viktig å kjenne til teoriene før hans modell.

For det første er det den berømte Schrödinger-ligningen for kvantemekanikk, publisert i 1925, som konverterer mengder til kvanteoperatorer. Denne ligningen bruker bølgefunksjonen (), og tar utgangspunkt i den klassiske ligningen for energi E = p2/2m og inkorporerer kvantiseringsreglene for både momentum (p) og energi (OG):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

Den partielle deriverte /t uttrykker utviklingen av systemet med hensyn til tid. Det første leddet innenfor den firkantede parentesen refererer til Kinetisk energi (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), mens det andre leddet gjelder potensiell energi.

Merk: i Einsteins relativitetsteori må variablene rom og tid inngå likt i ligninger, noe som ikke er tilfellet i Schrödinger-ligningen, der tid vises som en derivat, og posisjon som en andrederiverte.

Nå, i århundrer, har forskere forsøkt å finne en modell av fysikk som forener de forskjellige teoriene, og i tilfelle av Schrödingers ligning tar hensyn til massen (m) og ladningen til elektronet, men tar ikke hensyn til de relativistiske effektene som manifesterer seg ved høy hastigheter. Av denne grunn, i 1926, foreslo forskerne Oskar Klein og Walter Gordon en ligning som tar hensyn til relativitetsprinsippene:

\({\left( {ih\frac{\partial}{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Problemet med Klein-Gordon-ligningen er at den er basert på Einsteins, der energi er kvadratisk, så denne (Klein-Gordon) ligningen inkorporerer en kvadratisk derivert med hensyn til tid, og dette innebærer at den har to løsninger, som tillater negative verdier av tid, og dette gir ingen mening fysisk. På samme måte har det ulempen med å generere sannsynlighetsverdier mindre enn null som løsninger.

I et forsøk på å løse inkonsekvensene implisert av negative løsninger av visse størrelser som ikke støtter disse resultatene, startet Paul Dirac fra Klein-Gordon-ligningen til lineariser det, og i denne prosedyren introduserte han to parametere i form av matriser med dimensjon 4, kjent som Dirac eller også Pauli-matriser, og som er en representasjon av algebraen til snurre rundt. Disse parameterne er betegnet som  og ` (i energiligningen er de representert som E = pc + mc2):

Av det som er likestilling er oppfylt, er betingelsen at ´2 = m2c4

Generelt fører kvantiseringsreglene til operasjoner med derivater som gjelder for skalare bølgefunksjoner, men som parametere α og β er 4x4 matriser, differensialoperatorene griper inn på en firedimensjonal vektor (), kjent som spinor.

Dirac-ligningen løser det negative energiproblemet presentert av Klein-Gordon-ligningen, men en negativ energiløsning dukker fortsatt opp; det vil si partikler med egenskaper som ligner på den andre løsningen, men med motsatt ladning, kalte Dirac dette antipartikler. Videre, med Dirac-ligningen, er det vist at spinnet er et resultat av å bruke relativistiske egenskaper til kvanteverdenen.