Definisjon av eksponentiell funksjon

Hemming Strengteori / by admin / April 02, 2023

Marco Antonio Rodriguez Andrade
Master of Mathematics, Dr. of Science

Eksponentialfunksjonen modellerer ulike naturfenomener og sosiale og økonomiske situasjoner, og derfor er det viktig å identifisere eksponentielle funksjoner i ulike sammenhenger.

La oss huske at for et tall er ${a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa$ definert, generelt har vi det for enhver \(n\ ) tall naturlig:

I tilfelle $a \ne 0$, har vi at: ${a^0} = 1,\;$ faktisk, når $a \ne 0,$ er det fornuftig å utføre operasjonen \ (\frac{a}{a} = 1;\) når vi bruker eksponentloven, har vi:

$\frac{a}{a} = 1$

${a^{1 – 1}} = 1$

${a^0} = 1.$

Når $a = 0$, gir ikke det forrige resonnementet mening, derfor mangler uttrykket ${0^0},$ en matematisk tolkning.

I tilfelle $b > 0$ og det er sant at ${b^n} = a,$ sies det at $b$ er den n-te roten av $a$ og er vanligvis angitt som \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) eller $b = \sqrt[n]{a}$.

Når $a < 0$, er det ikke noe reelt tall $b$ slik at ${b^2} = a;$ fordi ${b^2} \ge 0;\;\ ) så uttrykk for formen \({a^{\frac{m}{n}}}$, vil ikke bli vurdert for $a < 0.$ I følgende algebraiske uttrykk: ${a^n}$ $a \ ) kalles base, og \(n$ er kalt eksponent, ${a^n}$kalles potensen$\;n$ av $a$ eller kalles også $a$ i potensen $n,\;$se overholde følgende lover av eksponentene:

instagram story viewer

${a^n}{a^m} = {a^{n + m}}$	$\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}$	${\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}$
$\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}$	${a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}$	${\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}$
${\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}$	${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$	${a^0} = 1$ for hver $a \ne 0$

Eksponentialfunksjonen har formen:

$f\left( x \right) = {a^x}$

hvor $a > 0$ er en konstant og den uavhengige variabelen er eksponenten $x$.

For å foreta en analyse av eksponentialfunksjonen skal vi vurdere tre tilfeller

Tilfelle 1 Når grunntallet $a = 1.$

I dette tilfellet er $a = 1,$ funksjonen $f\venstre( x \høyre) = {a^x}$ en konstant funksjon.

Tilfelle 2 Når grunnlaget $a > 1$

I dette tilfellet har vi følgende:

Verdien av $x$
$x < 0$	$0 < {a^x} < 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	$1 < {a^x} < a$
$x = 1$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$a < {a^x}$

Funksjonen $f\left( x \right) = {a^x}$ er en strengt økende funksjon, det vil si hvis ${x_2} > {x_1}$, så:

${a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}$

$f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)$

Når et fenomen er modellert med en eksponentiell funksjon, med $a > 1$, sier vi at det presenterer eksponentiell vekst.

Tilfelle 2 Når grunnlaget $a < 1$.

Verdien av $x$
$x < 0$	${a^x} > 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	$0 < {a^x} < 1$
$x = 0$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$0 < {a^x} < a < 1$

Når $a < 1$, er funksjonen $f\left( x \right) = {a^x}$ en strengt minkende funksjon, det vil si hvis \({x_2} > {x_1}\ ), så:

${a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}$ $f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) $ Når et fenomen er modeller med en eksponentiell funksjon, med $a < 1$, sier vi at den presenterer et forfall eller en reduksjon eksponentiell. Den følgende grafen illustrerer oppførselen til ${a^x}$, i de tre forskjellige tilfellene.

Anvendelser av eksponentiell funksjon

Eksempel 1 Befolkningsvekst

Vi vil betegne med ${P_0}$ den opprinnelige populasjonen og med $r \ge 0$ populasjonsveksthastigheten, hvis befolkningsraten forblir konstant over tid; funksjonen

$P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^t};$

Finn populasjonen på tidspunktet t.

Praktisk eksempel 1

Befolkningen i Mexico, i år 2021, er 126 millioner og presenterte en årlig vekst på 1,1%, Hvis denne veksten opprettholdes, hvilken befolkning vil det være i Mexico i år 2031, i år 2021?

Løsning

I dette tilfellet ${P_o} = 126$ og $r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0,011$, så bør du bruke:

$P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + .0011} \right)^t}$

Følgende tabell viser resultatene

År	medgått tid ($t$)	Beregning	Befolkning (millioner)
2021	0	$P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^0}$	126
2031	10	$P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{10}}$	140.57
2051	30	$P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{30}}$	174.95

Eksempel 2 Beregning av renters rente

Bankene tilbyr en årlig rente, men den reelle renten avhenger av hvor mange måneder du investerer den; Hvis du for eksempel tilbys en årlig rente på r%, er den reelle månedlige rentesatsen $\frac{r}{{12}}$%, den tomånedlige rentesatsen er $\frac{r}{6}$%, kvartalsvis er $\frac{r}{4}$%, kvartalsvis er $\frac{r}{3}$%, og semesteret er $\frac{r}{2}$%.

Praktisk eksempel 2

Anta at du investerer 10 000 i en bank og de tilbyr deg følgende årlige renter:

Tidsinnskudd	Årssats	perioder på et år	faktisk rate	Akkumulerte penger i $k$ måneder
to måneder	0.55%	6	$\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}$	$10000{\left( {1 + 0,00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}$
tre måneder	1.87%	4	$\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}$	$10000{\left( {1 + 0,00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}$
seks måneder	1.56%	2	$\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}$	$10000{\left( {1 + 0,0078} \right)^{\frac{k}{6}}}$

Tallet $e$, Eulers konstante og kontinuerlige interesse.

Anta nå at vi har en startkapital $C$ og vi investerer den til en fast rente $r > 0$, og vi deler året inn i $n$ perioder; kapitalen akkumulert i løpet av et år er lik:

$A = \;C{\venstre( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}$

For å analysere hvordan den akkumulerte kapitalen oppfører seg når $n$, vokser, vil vi omskrive den akkumulerte kapitalen på ett år:

$A = \;C{\venstre( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}$$A = \;C{\venstre( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},$

ved å gjøre $m = \frac{n}{r}$, får vi:

$A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}$$A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.$

Når $n$ vokser, vokser også $m = \frac{n}{r}.$

Ettersom $m = \frac{n}{r},$ vokser, nærmer uttrykket ${\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}$ det som kalles Euler konstant eller tall:

$e \ca. 2,718281828 \ldots .$

Eulers konstant har ikke et endelig eller periodisk desimaluttrykk.

Vi har følgende tilnærminger

$C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \ca. C{e^r},$ $C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \ca. C{e^{rs}}.$

Til uttrykket:

$A = \;C{e^r},$

Vi kan tolke det på to måter:

1.- Som det maksimale beløpet vi kan akkumulere i løpet av et år når vi investerer kapital $C,\;$ til en årlig rate $r.$

2.- Som beløpet vi ville akkumulert i løpet av et år hvis kapitalen vår kontinuerlig ble reinvestert til en årlig rate $r.$

$T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},$

er beløpet akkumulert dersom $s$ år er investert med løpende rente.

Konkret eksempel 3

Nå skal vi komme tilbake til en del av konkret eksempel 2, der den årlige satsen er 0,55 % i tomånedlige avdrag. Beregn kapitalen som akkumuleres hvis startkapitalen er 10 000 og reinvesterer et halvt år, to år, 28 måneder.

$10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525$

som tabellen nedenfor viser, er verdien av $m = \frac{n}{r},$ ikke "liten", og tabellen ovenfor indikerer at ${\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}$ er nær Eulers konstant.

Tid	Antall perioder ($k$)	Akkumulert kapital, i tusenvis, reinvestert annenhver måned
Halvt år	3	$10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525$
To år	12	$10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557$
38 måneder	19	$10{\left( {1.00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612$

Tid	Tid av år ($s$)	Akkumulert kapital, i tusenvis, invester med kontinuerlig rente
Halvt år	$s = \frac{1}{2}$	$10{e^{0.0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538$
To år	$s = 2$	$10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607$
38 måneder	$s = \frac{{19}}{6}$	$10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692$

Eksempel 2 Avskrivninger

Praktisk eksempel 1

En datamaskin svekker 30 % hvert år, hvis en datamaskin koster $20 000 pesos, bestemme prisen på datamaskinen i $t = 1,12,\;14,\;38$ måneder.

I dette tilfellet har man:

$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0,30} \right)^t}$

Med $t$ i år, gir erstatning av $t$ i følgende tabell

tid i måneder	tid i år	beregninger	Numerisk verdi
1	$\frac{1}{{12}}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}$	19414.289
12	1	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}$	14000
14	$\frac{7}{6}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}$	13192.012
38	$\frac{{19}}{6}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}$	6464.0859

Merker sky

Vurdering

Visninger

Kommentarer

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) for hver \(a \ne 0\)

Verdien av \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Verdien av \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Tid	Tid av år (\(s\))	Akkumulert kapital, i tusenvis, invester med kontinuerlig rente
Halvt år	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
To år	\(s = 2\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 måneder	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

År	medgått tid (\(t\))	Beregning	Befolkning (millioner)
2021	0	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^0}\)	126
2031	10	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{30}}\)	174.95

Tidsinnskudd	Årssats	perioder på et år	faktisk rate	Akkumulerte penger i \(k\) måneder
to måneder	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
tre måneder	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
seks måneder	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,0078} \right)^{\frac{k}{6}}}\)

Tid	Antall perioder (\(k\))	Akkumulert kapital, i tusenvis, reinvestert annenhver måned
Halvt år	3	\(10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
To år	12	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 måneder	19	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

tid i måneder	tid i år	beregninger	Numerisk verdi
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859