Hvordan defineres Thales' teorem?

Fra Thales' teorem, gitt flere parallelle linjer, sies linjen \(T\) å være på tvers av de parallelle linjene hvis den skjærer hver av de parallelle linjene.

I figur 1 er linjene \({T_1}\) og \({T_2}\) på tvers av de parallelle linjene \({L_1}\) og \({L_2}.\)

Thales teorem (svak versjon)
Hvis flere paralleller bestemmer kongruente segmenter (som måler det samme) i en av deres to tverrgående linjer, vil de også bestemme kongruente segmenter i de andre tverrgående.

I figur 2 er de svarte linjene parallelle, og du må:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Vi kan sikre følgende:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Det sies at den vise Thales av Miletus målte høyden på Cheops-pyramiden, for dette brukte han skygger og bruk av trekantslikhetsegenskaper. Thales' teorem er grunnleggende for utviklingen av konseptet om likhet av trekanter.

Forhold og egenskaper av proporsjoner

Ett forhold er kvotienten av to tall, med en annen divisor enn null; det er å si:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{med\;}}b \ne 0\)

En andel er likheten mellom to forhold, det vil si:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) kalles også proporsjonalitetskonstanten.

Proporsjoners egenskaper

Hvis \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) så for \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

eksempler

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Segmentparet \(\overline {AB} \) og \(\overline {CD} \) sies å være proporsjonale med segmentene \(\overline {EF} \) og \(\overline {GH} \) hvis andelen er oppfylt:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Hvor \(AB\;\) angir lengden på segmentet \(\overline {AB} .\)

Thales sin teorem

Går tilbake til definisjonen, bestemmer flere paralleller proporsjonale tilsvarende segmenter i deres tverrgående linjer.

I figur 3 er de rette linjene parallelle og vi kan sikre:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

La oss merke oss at de to første forrige proporsjonene tilsvarer følgende proporsjoner:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Av ovenfor vi får:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Ved mange anledninger er det bedre å jobbe med de tidligere proporsjonene og i dette tilfellet:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Omvendt av Thales' teorem

Hvis flere linjer bestemmer proporsjonale tilsvarende segmenter i sine tverrgående linjer, er linjene parallelle

Hvis i figur 4 er det oppfylt

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Da kan vi bekrefte at: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Notasjonen \({L_1}\parallell {L_2}\), les \({L_1}\) er parallell med \({L_2}\).

Fra forrige andel får vi:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Inndeling av et segment i flere like lange deler

Gjennom et konkret eksempel vil vi illustrere hvordan man deler et segment i like lange deler.

Del segmentet \(\overline {AB} \) i 7 like lange segmenter

Utgangssituasjon

Tegn en hjelpelinje som går gjennom en av endene av segmentet

Med støtte fra et kompass tegnes 7 segmenter av lik lengde på hjelpelinjen

Tegn linjen som forbinder endene av det siste stykket tegnet og den andre enden av stykket som skal deles

De er trukket parallelt med den siste linjen som nettopp er tegnet som går gjennom punktene der omkretsbuene skjærer hjelpelinjen.

Gitt et segment \(\overline {AB} \), sies et punkt \(P\) av segmentet å dele segmentet \(\overline {AB} \), i forholdet \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Inndeling av et segment i et gitt forhold

Gitt et segment \(\overlinje {AB} \), og to positive heltall \(a, b\); punktet \(P\) som deler segmentet i forholdet \(\frac{a}{b};\;\) kan finnes som følger:

1. Del segmentet \(\overline {AB} \) i \(a + b\) segmenter med like lange.
2. Ta \(a\)-segmenter som teller fra punkt \(A\).

eksempler

Inndeling av segmentet \(\overline {AB} \) i forholdet \(\frac{a}{b}\)

Grunnen til	Antall deler som segmentet er delt inn i	Plassering av punkt \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Anvendte eksempler på Thales' teorem

søknad 1: Tre tomter strekker seg fra Sol gate til Luna gate, som vist i figur 5.

Sidegrensene er segmenter vinkelrett på Luna Street. Hvis den totale fasaden til tomtene i Solgaten måler 120 meter, bestemmes fasaden til hver tomt i nevnte gate, hvis den også er kjent:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Problemstilling

Siden linjene er vinkelrett på Luna Street, så er de parallelle med hverandre, ved å bruke Thales' teorem kan vi bekrefte:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Av de ovennevnte vi kan konkludere:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

På samme måte kan vi konkludere:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Løsning

For å bestemme proporsjonalitetskonstanten \(k,\) vil vi bruke egenskapene til proporsjoner:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Fra ovenstående får vi:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\venstre( {10} \right) = 12.\)

Analogt:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Svar

Segmentet	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Lengde	12m	48m	24m	36m

søknad 2: En grafisk designer har designet en hylle i form av et parallellogram og vil plassere 3 hyller som vist i Figur 6, punktene E og F er midtpunktene på sidene \(\overline {AD} \) og \(\overline {BC} ,\) hhv. Du må lage kutt i hyllene for å kunne lage sammenstillingene. I hvilken del av hyllene skal kuttene gjøres?

Problemstilling: På grunn av betingelsene som er gitt i oppgaven, er følgende oppfylt:

\(ED = EA = CF = BF\)

Som hjelpekonstruksjoner vil vi utvide sidene \(\overline {CB} \) og \(\overline {DA} \). En linje trekkes gjennom punktet A gjennom \(A\) og parallelt med siden \(\overline {EB} \) og gjennom punktet \(C\;\) trekkes en linje parallelt med siden \(\overline {DF} \).

Vi vil bruke omvendt av Thales' teorem for å vise at segmentene \(\overline {EB} \) og \(\overline {DF} \) er parallelle for å anvende Thales' teorem.

Løsning

Ved konstruksjon er firkanten \(EAIB\) et parallellogram, så vi har at EA=BI, siden de er motsatte sider av et parallellogram. Nå:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Ved å bruke det gjensidige det gjensidige til Thales' teorem kan vi konkludere:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Tar segmentene \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) og segmentene BC og CI som deres transversaler; som:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Ved å ta \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) og segmentene \(\overline {AC} \) og \(\overline {EB} \) som deres transversaler vil vi ha:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

På samme måte er det vist at:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Svar

Diagonale kutt \(\overline {AC} \) må gjøres ved punktene \(G\;\) og \(H\), slik at:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Det samme gjelder for hyllene \(\overline {EB} \) og \(\overline {DF} \).