Definisjon av rasjonalisering av radikaler (matematikk)

Rasjonalisering av radikaler er en matematisk prosess som gjennomføres når det er en kvotient med radikaler eller røtter i nevneren. På denne måten kan det legges til rette for matematiske operasjoner der kvotienter med radikaler og andre typer matematiske objekter er involvert.

Typer kvotienter med radikaler

Det er viktig å nevne noen typer kvotienter med radikaler som kan rasjonaliseres. Men før du går helt inn i effektiviseringsprosessen, må et par viktige konsepter huskes. Anta først at vi har følgende uttrykk: \(\sqrt[m]{n}\). Dette er roten \(m\) av tallet \(n\), det vil si at resultatet av operasjonen er et tall slik at å heve det til potensen \(m\) gir oss tallet \(n\) som et resultat). Potensen og roten er inverse operasjoner, på en slik måte at: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
På den annen side er det verdt å nevne at produktet av to like røtter er lik roten til produktet, det vil si at: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m]{{np}}\). Disse to eiendommene kommer til å være våre beste allierte når vi rasjonaliserer.

Den vanligste og enkleste typen kvotient med en radikal vi kan finne er følgende:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Hvor \(a\), \(b\) og \(c\) kan være alle reelle tall. Rasjonaliseringsprosessen består i dette tilfellet av å finne en måte å få i kvotienten uttrykket \(\sqrt {{c^2}} = c\) for å bli kvitt det radikale. I dette tilfellet er det nok å multiplisere med \(\sqrt c \) både telleren og nevneren:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Når vi husker det som ble nevnt ovenfor, vet vi at \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Derfor får vi til slutt at:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

På denne måten har vi rasjonalisert det forrige uttrykket. Dette uttrykket er ikke mer enn et spesielt tilfelle av et generelt uttrykk som er følgende:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Der \(a\), \(b\), \(c\) er reelle tall og \(n\), \(m\) er positive potenser. Rasjonaliseringen av dette uttrykket er basert på samme prinsipp som det forrige, det vil si å få uttrykket \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) i nevneren. Vi kan oppnå dette ved å multiplisere med \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) både telleren og nevneren:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Vi kan utvikle produktet av radikaler i nevneren som følger: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Derfor forblir den rasjonaliserte kvotienten som:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

En annen type kvotient med radikaler som kan rasjonaliseres er den der vi har et binomial med kvadratrøtter i nevneren:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Hvor \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) og \(e\;\)er noen reelle tall. Symbolet \( ± \) indikerer at tegnet kan være positivt eller negativt. Nevneren binomial kan ha begge røtter eller bare én, men vi bruker denne kasus for å få et mer generelt resultat. Den sentrale ideen om å gjennomføre rasjonaliseringsprosessen i dette tilfellet er den samme som i de tidligere sakene, bare det i dette tilfellet vil vi multiplisere både telleren og nevneren med konjugatet av binomialet som finnes i nevner. Konjugatet til et binomial er et binomial som har de samme begrepene, men hvis sentrale symbol er motsatt av det opprinnelige binomiale. For eksempel er konjugatet til binomialet \(ux + vy\) \(ux – vy\). Når det er sagt, har vi da:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Symbolet \( \mp \) indikerer at tegnet kan være positivt eller negativt, men det må være motsatt av symbolet til nevneren for at binomialene skal konjugeres. Ved å utvikle multiplikasjonen av binomialer av nevneren får vi at:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Til slutt får vi det:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Med dette har vi rasjonalisert kvotienten med radikal. Disse kvotientene med radikaler er de som generelt kan rasjonaliseres. Deretter skal vi se noen eksempler på rasjonalisering av radikale.

eksempler

La oss se på noen eksempler på rasjonalisering med kvotienter med radikaler av typen nevnt ovenfor. Anta først at vi har følgende kvotient:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

I dette tilfellet er det nok å multiplisere telleren og nevneren med \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Anta nå at vi har følgende kvotient med radikal:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

I dette tilfellet har vi en sjette rot av en kubikkpotens. I forrige avsnitt nevnte vi at hvis vi har en radikal av formen \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) i nevner, kan vi rasjonalisere kvotienten ved å multiplisere telleren og nevneren med \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Ved å sammenligne dette med tilfellet presentert her kan vi innse at \(n = 6\), \(c = 4\) og \(m = 3\), derfor Derfor kan vi rasjonalisere den forrige kvotienten ved å multiplisere telleren og nevneren med \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Til slutt, anta at vi har følgende funksjon:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Som vist i forrige avsnitt, for å rasjonalisere denne typen kvotienter med radikaler, må du multiplisere telleren og nevneren med konjugatet til nevneren. I dette tilfellet vil konjugatet av nevneren være \(x – \sqrt x \). Derfor vil uttrykket være som følger:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Ved å utvikle multiplikasjonen av konjugerte binomialer av nevneren, får vi til slutt at:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Referanser

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel og Reyes Ricardo. (2009). Aritmetikk. Mexico: Pearson Education.