Definição de equação quadrática/quártica

Uma equação de segundo grau ou, na sua falta, quadrática, em relação a uma incógnita, é expressa na forma:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Onde a incógnita é \(x\), desde que \(a, b\) e c sejam constantes reais, com \(a \ne 0.\)

Existem várias técnicas para resolver equações do segundo grau, incluindo a fatoração, caso em que devemos levar em consideração a seguinte propriedade de acordo com a resolução:

Se o produto de dois números for zero, então existem duas possibilidades:

1. Ambos são iguais a zero.
2. Se um é diferente de zero, então o outro é zero

O que foi dito acima pode ser expresso da seguinte forma:
Se \(pq = 0\) então \(p = 0\) ou \(q = 0\).

Exemplo prático 1: resolva a equação \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Situação inicial
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Adicione 8 a ambos os lados da equação para encontrar \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	A raiz quadrada é obtida procurando isolar \(x.\) 8 é fatorado e as propriedades de radicais e potências são aplicadas.
\(\esquerda| x \direita| = 2\quadrado 2 \)	Você obtém a raiz de \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

As soluções de \({x^2} – 8\)=0 são:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Exemplo prático 2: Resolva a equação \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Situação inicial
\({x^2} – {12^2} = 0\)	A raiz quadrada de 144 é 12. Uma diferença de quadrados é identificada.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	A diferença de quadrados é fatorada
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Consideramos a possibilidade do fator \(x + 12\) ser igual a 0. A equação obtida é resolvida.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Consideramos a possibilidade do fator \(x – 12\) ser igual a 0. A equação obtida é resolvida.

As soluções da equação \({x^2} – 144 = 0\) são

\(x = – 12,\;12\)

Exemplo prático 3: resolva a equação \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Situação inicial
\(x\esquerda({x + 3} \direita) = 0\)	\(x\) é identificado como um fator comum e a fatoração é realizada.
\(x = 0\)	Considere a possibilidade do fator \(x\) ser igual a 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Consideramos a possibilidade do fator \(x – 12\) ser igual a 0. A equação obtida é resolvida.

As soluções da equação \({x^2} + 3x = 0\), são:
\(x = – 3,0\)

Exemplo prático 4: Resolva a equação \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Situação inicial
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	A raiz quadrada de 49 é 7 e \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Um trinômio quadrado perfeito é identificado.
\({\esquerda( {x – 7} \direita)^2} = 0\)	O trinômio quadrado perfeito é expresso como um binômio quadrado.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

A solução de \({x^2} – 14x + 49 = 0\) é:
\(x = 7\)

Exemplo prático 5: Resolva a equação \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Situação inicial
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	O produto \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\esquerda( {10{x^2} – 8x} \direita) – 15x + 12 = 0\)	É expresso como \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\esquerda( {5x – 4} \direita) – 3\esquerda( {5x – 4} \direita) = 0\)	Identifique \(2x\) como um fator comum no primeiro adendo e fatore-o. Identifique \( – 3\) como um fator comum no segundo adendo e fatore-o.
\(\esquerda( {5x – 4} \direita)\esquerda( {2x – 3} \direita) = 0\)	Fatore o fator comum \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Consideramos a possibilidade do fator \(5x – 12\) ser igual a 0. A equação obtida é resolvida.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Considere a possibilidade do fator \(2x – 3\) ser igual a 0. A equação obtida é resolvida.

As soluções de \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) são:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Exemplo prático 6: Resolva a equação \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Situação inicial O trinômio não é um quadrado perfeito
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Adicione -1 a cada lado da equação.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Como \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) somando \({2^2}\), obtemos um quadrado perfeito.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Adicione \({2^2}\;\) a cada lado da equação. O lado esquerdo é um quadrado perfeito.
\({\esquerda( {x + 2} \direita)^2} = 3\)	O trinômio quadrado perfeito é expresso como um binômio quadrado.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Tire a raiz quadrada de cada lado da equação
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Resolva para \(x\).

As soluções de \({x^2} + 4x + 1 = 0\) são:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Exemplo prático 7: Resolva a equação \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Situação inicial O trinômio não é um quadrado perfeito.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Some 1 a cada lado da equação
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Multiplique por cada lado da equação para que o coeficiente de \({x^2}\) seja igual a 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	produto é distribuído Como \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), adicionando \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) dá um trinômio quadrado perfeito.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Some 3 a ambos os lados da equação para encontrar \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	O trinômio quadrado perfeito é expresso como um binômio cúbico.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Tire a raiz quadrada de cada lado da equação
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Resolva para \(x\).

As soluções de \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) são:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

O procedimento usado na equação acima será usado para encontrar o que é chamado de fórmula geral para soluções quadráticas.

Fórmula Geral da Equação do Segundo Grau.

Fórmula geral de equações quadráticas

Nesta seção, descobriremos como resolver, de maneira geral, uma equação quadrática

Com \(a \ne 0\) consideremos a equação \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\esquerda( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \direita) = 0\)

Como \(a \ne 0\) basta resolver:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Situação inicial
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Adicione \( – \frac{c}{a}\) a cada lado da equação.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Como \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), adicionando \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) produz um trinômio quadrado perfeito.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	O lado esquerdo da equação é um trinômio quadrado perfeito.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	O trinômio quadrado perfeito é expresso como um binômio quadrado. A fração algébrica está feita.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Tire a raiz quadrada de cada lado da equação.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Propriedades radicais se aplicam.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	As propriedades de valor absoluto se aplicam.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Para cada lado da equação, adicione \( – \frac{b}{{2a}}\) para encontrar \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	A fração algébrica está feita.

O termo \({b^2} – 4{a^2}c\) é chamado de discriminante da equação quadrática \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Quando o discriminante da equação acima é negativo, as soluções são números complexos e não há soluções reais. Soluções complexas não serão abordadas nesta nota.

Dada a equação quadrática \(a{x^2} + bx + c = 0\), se \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Então as soluções dessa equação são:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

A expressão:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

É chamada de Fórmula Geral da equação quadrática.

Exemplo prático 8: resolva a equação \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(para\)	\(b\)	\(c\)	discriminar	soluções reais
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\esquerda( 3 \direita)\esquerda( { – 5} \direita) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

As soluções da equação são:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Exemplo prático 9: Resolva a equação \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(para\)	\(b\)	\(c\)	discriminar	soluções reais
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\esquerda( { – 4} \direita)\esquerda( 9 \direita) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\esquerda( {17} \direita)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

As soluções da equação são:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Exemplo prático 10: Resolva a equação \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(para\)	\(b\)	\(c\)	discriminar	soluções reais
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Não tem

Equações Diversas

Existem equações não quadráticas que podem ser convertidas em uma equação quadrática, veremos dois casos.

Exemplo prático 11: Encontrando as soluções reais da equação \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Fazendo a mudança de variável \(y = \sqrt x \), a equação anterior fica assim:

\(6{a^2} = 5 – 13a\)

\(6{a^2} + 13a – 5 = 0\)

\(6{a^2} + 15a – 2a – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Portanto \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Como \(\sqrt x \) denota apenas valores positivos, consideraremos apenas:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Responder:

A única solução real é:
\(x = \frac{1}{9}\)

Exemplo resolvido 12: Resolva a equação \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Fazendo a mudança de variável:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Obtemos a equação:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{a^2} – 6 = 5a\)

\(6{a^2} – 5a – 6 = 0\)

\(6{a^2} – 9a + 4a – 6 = 0\)

\(3a\esquerda( {2a – 3} \direita) + 2\esquerda( {2a – 3} \direita) = 0\)

\(\esquerda( {2a – 3} \direita)\esquerda( {3a + 2} \direita) = 0\)

Os possíveis valores de \(y\) são:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Das anteriores, consideraremos apenas a solução positiva.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

As soluções são \(x = 9.\)