Definição de Função Exponencial

A função exponencial modela vários fenômenos naturais e situações sociais e econômicas, por isso é importante identificar funções exponenciais em vários contextos.

Lembremos que para um número \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) está definido, em geral temos que para qualquer \(n\ ) número natural:

No caso \(a \ne 0\), temos que: \({a^0} = 1,\;\) de fato, quando \(a \ne 0,\) faz sentido fazer a operação \ (\frac{a}{a} = 1;\) aplicando a lei dos expoentes, temos:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

Quando \(a = 0\), o raciocínio anterior não faz sentido, portanto, a expressão \({0^0},\) carece de interpretação matemática.

No caso de \(b > 0\) e é verdade que \({b^n} = a,\) diz-se que \(b\) é a enésima raiz de \(a\) e geralmente é denotado como \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) ou \(b = \sqrt[n]{a}\).

Quando \(a < 0\), não existe nenhum número real \(b\) tal que \({b^2} = a;\) porque \({b^2} \ge 0;\;\ ) então expressões da forma \({a^{\frac{m}{n}}}\), não será considerado para \(a < 0.\) Na seguinte expressão algébrica: \({a^n}\) \(a \ ) é chamado de base e \(n\) é chamado de expoente, \({a^n}\)é chamado de potência\(\;n\) de \(a\) ou também é chamado de \(a\) elevado a \(n,\;\)se cumprir as seguintes leis dos expoentes:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) para cada \(a \ne 0\)

A função exponencial é da forma:

\(f\esquerda( x \direita) = {a^x}\)

onde \(a > 0\) é uma constante e a variável independente é o expoente \(x\).

Para fazer uma análise da função exponencial, vamos considerar três casos

Caso 1 Quando a base \(a = 1.\)

Neste caso, \(a = 1,\) a função \(f\left( x \right) = {a^x}\) é uma função constante.

Caso 2 Quando a base \(a > 1\)

Neste caso, temos o seguinte:

Valor de \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

A função \(f\left( x \right) = {a^x}\) é uma função estritamente crescente, ou seja, se \({x_2} > {x_1}\), então:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

Quando um fenômeno é modelado com uma função exponencial, com \(a > 1\), dizemos que ele apresenta crescimento exponencial.

Caso 2 Quando a base \(a < 1\).

Valor de \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Quando \(a < 1\), a função \(f\left( x \right) = {a^x}\) é uma função estritamente decrescente, ou seja, se \({x_2} > {x_1}\ ), então:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) Quando um fenômeno é modelos com função exponencial, com \(a < 1\), dizemos que apresenta decaimento ou decréscimo exponencial. O gráfico a seguir ilustra o comportamento de \({a^x}\), em seus três casos diferentes.

Aplicações da função exponencial

Exemplo 1 Crescimento populacional

Denotaremos com \({P_0}\) a população inicial e com \(r \ge 0\) a taxa de crescimento populacional, se a taxa populacional permanecer constante ao longo do tempo; a função

\(P\esquerda( t \direita) = {P_0}{\esquerda( {1 + r} \direita)^t};\)

Encontre a população no tempo t.

Exemplo prático 1

A população do México, no ano de 2021 é de 126 milhões e apresentou um crescimento anual de 1,1%, Se esse crescimento for mantido, que população haverá no México no ano de 2031, no ano 2021?

Solução

Neste caso \({P_o} = 126\) e \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\), então você deve usar:

\(P\esquerda( t \direita) = {P_0}{\esquerda( {1 + .0011} \direita)^t}\)

A tabela a seguir mostra os resultados

Ano	Tempo decorrido (\(t\))	Cálculo	População (milhões)
2021	0	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^0}\)	126
2031	10	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{30}}\)	174.95

Exemplo 2 Cálculo de juros compostos

Os bancos oferecem uma taxa de juros anual, mas a taxa real depende de quantos meses você investe; Por exemplo, se lhe for oferecida uma taxa de juros anual de r%, a taxa mensal real é \(\frac{r}{{12}}\)%, a taxa bimestral é \(\frac{r}{6}\)%, trimestral é \(\frac{r}{4}\)%, trimestral é \(\frac{r}{3}\)% e semestral é \(\frac{r}{2}\)%.

Exemplo prático 2

Suponha que você invista 10.000 em um banco e eles lhe ofereçam as seguintes taxas de juros anuais:

Depósitos a prazo fixo	Taxa anual	períodos em um ano	taxa real	Dinheiro acumulado em \(k\) meses
dois meses	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
três meses	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
seis meses	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,0078} \right)^{\frac{k}{6}}}\)

O número \(e\), constante e contínua de Euler.

Agora suponha que temos um capital inicial \(C\) e o investimos a uma taxa fixa \(r > 0\), e dividimos o ano em \(n\) períodos; o capital acumulado em um ano é igual a:

\(A = \;C{\esquerda( {1 + \frac{r}{n}} \direita)^n}\)

Para analisar como se comporta o capital acumulado quando \(n\), cresce, vamos reescrever o capital acumulado, em um ano:

\(A = \;C{\esquerda( {1 + \frac{r}{n}} \direita)^n}\)\(A = \;C{\esquerda( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \direita)^{\esquerda( {\frac{n}{r}} \direita) r}},\)

fazendo \(m = \frac{n}{r}\), obtemos:

\(A = C{\esquerda( {1 + \frac{1}{m}} \direita)^{mr}}\)\(A = C{\esquerda( {{{\esquerda( {1 + \ frac{1}{m}} \direita)}^m}} \direita)^r}.\)

Conforme \(n\) cresce, \(m = \frac{n}{r} também cresce.\)

À medida que \(m = \frac{n}{r},\) cresce a expressão \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) se aproxima do que é chamado de Constante ou número de Euler:

\(e \approx 2.718281828 \ldots .\)

A constante de Euler não possui uma expressão decimal finita ou periódica.

Temos as seguintes aproximações

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \approx C{e^r},\) \(C{\esquerda( {1 + \frac{r}{n}} \direita)^{ns}} \approx C{e^{rs}}.\)

Para a expressão:

\(A = \;C{e^r},\)

Podemos interpretá-lo de duas maneiras:

1.- Como o valor máximo que podemos acumular em um ano quando investimos capital \(C,\;\) a uma taxa anual \(r.\)

2.- Como o valor que acumularíamos, em um ano, se nosso capital fosse continuamente reinvestido a uma taxa anual \(r.\)

\(T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},\)

é o valor acumulado se \(s\) anos forem investidos com juros contínuos.

Exemplo concreto 3

Agora voltaremos a uma parte do exemplo concreto 2, onde a taxa anual é de 0,55% em parcelas bimestrais. Calcule o capital que acumula se o capital inicial for 10.000 e reinvestir meio ano, dois anos, 28 meses.

\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

como mostra a tabela abaixo, o valor de \(m = \frac{n}{r},\) não é “pequeno” e a tabela acima indica que \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) está próximo da constante de Euler.

Tempo	Número de períodos (\(k\))	Capital acumulado, em milhares, reinvestido a cada dois meses
Meio ano	3	\(10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Dois anos	12	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 meses	19	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

Tempo	Tempo dos anos (\(s\))	Capital acumulado, em milhares, invista com juros contínuos
Meio ano	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Dois anos	\(s = 2\)	\(10{\left( {1,00091667} \right)^{0,0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 meses	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Exemplo 2 Depreciação

Exemplo prático 1

Um computador desvaloriza 30% a cada ano, se um computador custa $ 20.000 pesos, determine o preço do computador para \(t = 1,12,\;14,\;38\) meses.

Neste caso, tem-se:

\(P\esquerda( t \direita) = 20000{\rm{\;}}{\esquerda( {1 – 0,30} \direita)^t}\)

Com \(t\) em anos, substituindo \(t\) na tabela a seguir dá

tempo em meses	tempo em anos	cálculos	Valor numérico
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859