Exemplo de união de conjuntos

Sabe-se que uma definir é um grupo de elementos que têm uma característica em comum, pelo qual a diferença com outros elementos e grupos fica clara. Os conjuntos funcionam na matemática como um conceito que serve para estabelecer estatísticas ou medidas da característica comum. Por exemplo, para contar quantos elementos existem em cada conjunto e comparar os dois conjuntos para ver qual é o maior.

O Universo é o que contém tudo; Em outras palavras, é o que habita todos os elementos que podem ser agrupados e aqueles que não podem ser agrupados. Dentro do Universo, haverá todos os conjuntos possíveis e elementos soltos. O Universo será representado por um retângulo, como sinal de que possui um limite, com todos os elementos em seu interior.

Para definir graficamente um conjunto dentro do Universo, um círculo é desenhado dentro do retângulo e todos os elementos que o compõem são escritos dentro dele. Os elementos que não possuem a característica comum são deixados escritos no restante da área do retângulo, indicando que não pertencem ao conjunto definido.

O mesmo será feito se houver um segundo e um terceiro conjunto, para observar os círculos dentro do Universo, contendo seus respectivos elementos.

Mas chegará o tempo em que dois ou três conjuntos terão elementos que atendem a duas ou três características em comum, dando assim a união parcial dos conjuntos.

Diagrama de Venn

O Diagrama de Venn é a ferramenta para representar a união de conjuntos por excelência. Os círculos dos conjuntos se sobrepõem para gerar uma área intermediária, chamada Intersecção, que é aquele que representa os elementos que atendem as características de ambos os conjuntos ao mesmo clima.

O Diagrama de Venn, para casos específicos, tem como objetivo oferecer ajuda gráfica ao estimar o número de elementos em um dos conjuntos, quando nem todos os dados estão disponíveis.

Exemplos de união de conjuntos

Exemplo de união de dois conjuntos

Há um grupo de 30 pessoas (universo), a quem é perguntado se preferem Música Clássica ou o género Rock. 10 respondem que gostam apenas de Rock, 4 preferem exclusivamente música clássica e verifica-se que as outras 16 pessoas têm o mesmo gosto por ambos. Os conjuntos e a interseção seriam representados da seguinte forma:

Exemplo de união de dois conjuntos de preferências

Para fazer um levantamento nas salas de cinema sobre os sabores preferidos da pipoca, 150 pessoas foram levadas. Os sabores oferecidos foram Manteiga e Caramelo. Dos entrevistados, 70 no total responderam com um gosto por Butter's. Se se reúnem 93 pessoas que gostam dos dois, e são 20 que só gostam do Caramelo, você já sabe quantos tem gosto exclusivo para os de Mantequilla, sem contar os do cruzamento, e no final o número total de quem gosta dos de Doce. O diagrama é assim:

Para a solução deste diagrama, coloque os dados fornecidos no problema. O número 70 daqueles que têm gosto pelos de Mantequilla colocamos ao lado do nome do grupo, para representar o seu total. As 93 pessoas que gostarem de ambos irão no cruzamento. As 20 pessoas que têm gosto exclusivo pelo sabor Caramelo, irão na seção circular que indica apenas Caramelo.

Somando a Intersecção = 93 e a seção Candy = 20, temos como resultado 113, que são os elementos contados até agora. Sabemos que o universo U = 150, são os elementos totais. A diferença entre o Universo U = 150 e os elementos até agora contados = 113, temos como resultado = 37, que são os restantes elementos, pertencentes à seção Manteiga.

Para saber o total de elementos no conjunto Candy, primeiro conheceremos os elementos Butter presentes na interseção. É conhecido por ter 70 elementos de manteiga. E 37 deles são de sabor único. A diferença entre eles é = 33. Existem 33 elementos Butter presentes na Intersecção. Portanto, já podemos saber o número de elementos Caramel na Intersecção. 93 – 33 = 60. Existem 60 elementos Candy bloqueados na Intersecção. Somado aos 20 do exclusivo Caramelo, saber-se-á que o conjunto Caramelo tem um total de: 60 + 20 = 80 elementos.

Exemplo de união de dois conjuntos de pessoas

Para um trabalho de pesquisa sobre vícios, foi estabelecida uma pesquisa para descobrir o número de pessoas que fumavam, bebiam bebidas alcoólicas ou ambos. O grupo atendido foi de 300 pessoas. Constatou-se que 203 pessoas convergiram para uma dupla prática de vícios; 45 pessoas dedicaram-se exclusivamente ao Tabagismo. E no grupo dos alcoólatras havia 112 elementos. É assim que o caso atual seria representado:

Para resolver este caso, você pode primeiro saber o número total de itens no conjunto de Fumar. Se soubermos que o Universo é composto por 300 pessoas, e já existem 112 no conjunto Álcool, por diferença podemos saber que há 300 - 112 = 188 pessoas no conjunto Fumar.

Para saber o número de elementos Fumando no Cruzamento, fazemos a diferença apenas de 188 no total menos os 45 exclusivos. 188 – 45 = 143. Existem 143 itens para fumar no cruzamento.

Portanto, subtraindo-os dos 203 elementos da Intersecção, temos 203 - 143 = 60 elementos. Existem 60 elementos de álcool na interseção. Graças a esse cálculo, e subtraindo dos 112 totais, será possível conhecer os elementos exclusivos do Álcool.

112 – 60 = 52. 52 pessoas bebem apenas bebidas alcoólicas. Assim, o diagrama já está resolvido.

Exemplo de união de três conjuntos 

Nas ocasiões em que houver três conjuntos de trabalho, mais Intersecções serão geradas que os relacionarão entre si. Além disso, uma interseção geral dos três conjuntos resultará no centro do diagrama.

Um grupo de leitura será estudado para descobrir as preferências literárias de seus membros, incluindo romance, conto e contos. O grupo ou universo é composto por 40 pessoas.

Os dados coletados foram colocados no Diagrama de Venn, dividido no universo de 40 pessoas. Sabe-se então que 9 pessoas no total têm gosto pelo Romance, 12 pela História e 19 pelo MicroRelato. Destes três conjuntos, 4 têm gosto exclusivo pelo Romance, 7 têm gosto único pela História e 8 apenas gostam do MicroRelato.

Tem gente que tem gosto pelo romance e pelo conto ao mesmo tempo, que é o Cruzamento N / C = 3 pessoas. Para quem gosta de Story e Micro Story ao mesmo tempo, o M / C Intersection são 4 pessoas. E quem tem gosto simultâneo pela Novela e pelo MicroRelato, no Cruzamento N / M, são 6 pessoas.

Finalmente, foram 8 pessoas que experimentaram os três conceitos ao mesmo tempo.

Exemplo de união de três conjuntos de preferências

Um restaurante buffet queria expandir seu repertório e entrevistou 250 clientes para ver qual era a preferência da maioria entre comida japonesa, comida mexicana e comida italiana. O diagrama de Venn era o seguinte:

Interpretando o diagrama, o resultado foi o seguinte: são 73 pessoas que têm gosto por comida Japoneses, 94 pessoas com gosto pela comida mexicana e 83 pessoas que gostam da comida mexicana Italiano.

Existem pessoas que têm um gosto único para cada tipo de alimento. São 42 pessoas que gostam apenas de comida japonesa. São 72 pessoas que gostam apenas de comida mexicana. E são 21 pessoas que têm gosto apenas pela comida italiana.

Dentro dos ensembles japoneses, mexicanos e italianos, há pessoas que têm gostos mistos, que combinam ou dois ou todos eles.

São 19 pessoas que gostam de comida japonesa e mexicana. São 40 pessoas que gostam de comida mexicana e italiana. São 30 pessoas que gostam de comida japonesa e italiana. E há 26 pessoas que gostam das três comidas, japonesas, mexicanas e italianas.