Definiția ecuației pătratice/quartice

O ecuație de gradul doi sau, în lipsă, una pătratică, față de o necunoscută, se exprimă sub forma:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Unde necunoscuta este \(x\), atâta timp cât \(a, b\) și c sunt constante reale, cu \(a \ne 0.\)

Există mai multe tehnici de rezolvare a ecuațiilor pătratice, inclusiv factorizarea, caz în care trebuie să luăm în considerare următoarea proprietate conform rezoluției:

Dacă produsul a două numere este zero, există două posibilități:

1. Ambele sunt egale cu zero.
2. Dacă unul este diferit de zero, celălalt este zero

Cele de mai sus pot fi exprimate astfel:
Dacă \(pq = 0\) atunci \(p = 0\) sau \(q = 0\).

Exemplul practic 1: rezolvați ecuația \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Situația inițială
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Adăugați 8 la ambele părți ale ecuației pentru a rezolva pentru \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Rădăcina pătrată se obține căutând izolarea \(x.\) 8 este factorizat și sunt aplicate proprietățile radicalilor și puterile.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	Obțineți rădăcina lui \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Soluțiile lui \({x^2} – 8\)=0 sunt:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Exemplul practic 2: Rezolvați ecuația \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Situația inițială
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Rădăcina pătrată a lui 144 este 12. Se identifică o diferență de pătrate.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	Diferența de pătrate este factorizată
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Considerăm posibilitatea ca factorul \(x + 12\) să fie egal cu 0. Se rezolva ecuatia obtinuta.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Considerăm posibilitatea ca factorul \(x – 12\) să fie egal cu 0. Se rezolva ecuatia obtinuta.

Soluțiile ecuației \({x^2} – 144 = 0\) sunt

\(x = – 12,\;12\)

Exemplul practic 3: rezolvați ecuația \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Situația inițială
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	\(x\) este identificat ca factor comun și se efectuează factorizarea.
\(x = 0\)	Luați în considerare posibilitatea ca factorul \(x\) să fie egal cu 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Considerăm posibilitatea ca factorul \(x – 12\) să fie egal cu 0. Se rezolva ecuatia obtinuta.

Soluțiile ecuației \({x^2} + 3x = 0\), sunt:
\(x = – 3,0\)

Exemplul practic 4: Rezolvați ecuația \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Situația inițială
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Rădăcina pătrată a lui 49 este 7 și \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Se identifică un trinom pătrat perfect.
\({\left({x – 7} \right)^2} = 0\)	Trinomul pătrat perfect este exprimat ca un binom pătrat.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Soluția lui \({x^2} – 14x + 49 = 0\) este:
\(x = 7\)

Exemplul practic 5: Rezolvați ecuația \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Situația inițială
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Produsul \(\left({10} \right)\left({12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left({10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	Se exprimă ca \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\left( {5x – 4} \right) – 3\left( {5x – 4} \right) = 0\)	Identificați \(2x\) ca factor comun în primul supliment și factorizați-l. Identificați \( – 3\) ca factor comun în al doilea adunat și factorizați-l.
\(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\)	Factorizați factorul comun \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Considerăm posibilitatea ca factorul \(5x – 12\) să fie egal cu 0. Se rezolva ecuatia obtinuta.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Luați în considerare posibilitatea ca factorul \(2x – 3\) să fie egal cu 0. Se rezolva ecuatia obtinuta.

Soluțiile lui \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) sunt:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Exemplul practic 6: Rezolvați ecuația \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Situația inițială Trinomul nu este un pătrat perfect
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Adăugați -1 de fiecare parte a ecuației.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Deoarece \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) prin adăugarea \({2^2}\), obținem un pătrat perfect.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Adăugați \({2^2}\;\) la fiecare parte a ecuației. Partea stângă este un pătrat perfect.
\({\left({x + 2} \right)^2} = 3\)	Trinomul pătrat perfect este exprimat ca un binom pătrat.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Luați rădăcina pătrată a fiecărei părți a ecuației
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Rezolvați pentru \(x\).

Soluțiile lui \({x^2} + 4x + 1 = 0\) sunt:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Exemplul practic 7: Rezolvați ecuația \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Situația inițială Trinomul nu este un pătrat perfect.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Adăugați 1 de fiecare parte a ecuației
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Înmulțiți cu fiecare parte a ecuației astfel încât coeficientul lui \({x^2}\) să fie egal cu 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	produsul este distribuit Deoarece \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), adăugând \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) dă un trinom pătrat perfect.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Adăugați 3 la ambele părți ale ecuației pentru a rezolva pentru \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{{29}}{{100}}\)	Trinomul pătrat perfect este exprimat ca un binom cub.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{29}}{{100}}} \ )	Luați rădăcina pătrată a fiecărei părți a ecuației
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Rezolvați pentru \(x\).

Soluțiile lui \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) sunt:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Procedura utilizată în ecuația de mai sus va fi folosită pentru a găsi ceea ce se numește formula generală pentru soluțiile pătratice.

Formula generală a ecuației de gradul doi.

Formula generală a ecuațiilor pătratice

În această secțiune vom găsi cum să rezolvăm, în mod general, o ecuație pătratică

Cu \(a \ne 0\) să considerăm ecuația \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Deoarece \(a \ne 0\) este suficient să rezolvi:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Situația inițială
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Adăugați \( – \frac{c}{a}\) la fiecare parte a ecuației.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Deoarece \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), prin adăugarea \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) dă un trinom pătrat perfect.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Partea stângă a ecuației este un trinom pătrat perfect.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Trinomul pătrat perfect este exprimat ca un binom pătrat. Fracția algebrică este făcută.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Luați rădăcina pătrată a fiecărei părți a ecuației.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Se aplică proprietăți radicale.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Se aplică proprietăți de valoare absolută.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	La fiecare parte a ecuației se adaugă \( – \frac{b}{{2a}}\) pentru a rezolva pentru \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Fracția algebrică este făcută.

Termenul \({b^2} – 4{a^2}c\) se numește discriminantul ecuației pătratice \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Când discriminantul ecuației de mai sus este negativ, soluțiile sunt numere complexe și nu există soluții reale. Soluțiile complexe nu vor fi tratate în această notă.

Având în vedere ecuația pătratică \(a{x^2} + bx + c = 0\), dacă \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Atunci soluțiile acestei ecuații sunt:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Expresia:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Se numește Formula generală a ecuației pătratice.

Exemplul practic 8: rezolvați ecuația \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(la\)	\(b\)	\(c\)	Discriminarea	solutii reale
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\left( 3 \right)\left( { – 5} \right) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Rezolvarile ecuatiei sunt:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Exemplul practic 9: Rezolvați ecuația \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(la\)	\(b\)	\(c\)	Discriminarea	solutii reale
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\left( { – 4} \right)\left( 9 \right) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\stânga( {17} \dreapta)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Rezolvarile ecuatiei sunt:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Exemplul practic 10: Rezolvați ecuația \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(la\)	\(b\)	\(c\)	Discriminarea	solutii reale
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left({ – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Nu are

Ecuații diverse

Există ecuații non-cuadratice care pot fi convertite într-o ecuație pătratică.Vom vedea două cazuri.

Exemplul practic 11: Găsirea soluțiilor reale ale ecuației \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Făcând schimbarea variabilei \(y = \sqrt x \), ecuația anterioară rămâne astfel:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left({2y + 5} \right) – \left({2y + 5} \right) = 0\)

\(\left({2y + 5} \right)\left({3y – 1} \right) = 0\)

Prin urmare \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Deoarece \(\sqrt x \) denotă doar valori pozitive, vom lua în considerare doar:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Răspuns:

Singura soluție reală este:
\(x = \frac{1}{9}\)

Exemplul lucrat 12: Rezolvați ecuația \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Efectuarea modificării variabilei:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Obtinem ecuatia:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left({2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left({2y – 3} \right)\left({3y + 2} \right) = 0\)

Valorile posibile ale lui \(y\) sunt:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Dintre cele de mai sus vom lua în considerare doar soluția pozitivă.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Soluțiile sunt \(x = 9.\)