Definiția funcției exponențiale

Funcția exponențială modelează diverse fenomene naturale și situații sociale și economice, motiv pentru care este importantă identificarea funcțiilor exponențiale în diverse contexte.

Să ne amintim că pentru un număr \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) este definit, în general avem că pentru orice \(n\ ) număr natural:

În cazul \(a \ne 0\), avem că: \({a^0} = 1,\;\) de fapt, când \(a \ne 0,\) are sens să faceți operația \ (\frac{a}{a} = 1;\) atunci când aplicăm legea exponenților, avem:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

Când \(a = 0\), raționamentul anterior nu are sens, prin urmare, expresiei \({0^0},\) îi lipsește o interpretare matematică.

În cazul în care \(b > 0\) și este adevărat că \({b^n} = a,\) se spune că \(b\) este a n-a rădăcină a lui \(a\) și este de obicei notat ca \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) sau \(b = \sqrt[n]{a}\).

Când \(a < 0\), nu există un număr real \(b\) astfel încât \({b^2} = a;\) deoarece \({b^2} \ge 0;\;\ ) deci expresii ale formei \({a^{\frac{m}{n}}}\), nu va fi luat în considerare pentru \(a < 0.\) În următoarea expresie algebrică: \({a^n}\) \(a \ ) se numește bază, iar \(n\) este numit exponent, \({a^n}\)se numește puterea\(\;n\) a lui \(a\) sau se mai numește \(a\) la puterea \(n,\;\)se respectă următoarele legi dintre exponenti:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left({ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) pentru fiecare \(a \ne 0\)

Funcția exponențială este de forma:

\(f\left(x \right) = {a^x}\)

unde \(a > 0\) este o constantă și variabila independentă este exponentul \(x\).

Pentru a face o analiză a funcției exponențiale, vom lua în considerare trei cazuri

Cazul 1 Când baza \(a = 1.\)

În acest caz, \(a = 1,\) funcția \(f\left( x \right) = {a^x}\) este o funcție constantă.

Cazul 2 Când baza \(a > 1\)

În acest caz, avem următoarele:

Valoarea lui \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Funcția \(f\left( x \right) = {a^x}\) este o funcție strict crescătoare, adică dacă \({x_2} > {x_1}\), atunci:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

Când un fenomen este modelat cu o funcție exponențială, cu \(a > 1\), spunem că prezintă creștere exponențială.

Cazul 2 Când baza \(a < 1\).

Valoarea lui \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Când \(a < 1\), funcția \(f\left( x \right) = {a^x}\) este o funcție strict descrescătoare, adică dacă \({x_2} > {x_1}\ ), asa de:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) Când un fenomen este modele cu funcție exponențială, cu \(a < 1\), spunem că prezintă o decădere sau descreștere exponenţială. Următorul grafic ilustrează comportamentul lui \({a^x}\), în cele trei cazuri diferite.

Aplicații ale funcției exponențiale

Exemplul 1 Creșterea populației

Vom nota cu \({P_0}\) populația inițială și cu \(r \ge 0\) rata de creștere a populației, dacă rata populației rămâne constantă în timp; functia

\(P\left(t \right) = {P_0}{\left({1 + r} \right)^t};\)

Aflați populația la momentul t.

Exemplul practic 1

Populația Mexicului, în anul 2021 este de 126 milioane și a prezentat o creștere anuală de 1,1%, Dacă se va menține această creștere, ce populație va fi în Mexic în anul 2031, în anul 2021?

Soluţie

În acest caz, \({P_o} = 126\) și \(r = \frac{{{1,1}}{{100}} = 0,011\), deci ar trebui să utilizați:

\(P\left(t \right) = {P_0}{\left({1 + .0011} \right)^t}\)

Următorul tabel arată rezultatele

An	timpul scurs (\(t\))	Calcul	Populație (milioane)
2021	0	\(P\left(t \right) = 126{\left({1,0011} \right)^0}\)	126
2031	10	\(P\left(t \right) = 126{\left({1,0011} \right)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left(t \right) = 126{\left({1,0011} \right)^{30}}\)	174.95

Exemplul 2 Calculul dobânzii compuse

Băncile oferă o dobândă anuală, dar rata reală depinde de câte luni o investești; De exemplu, dacă vi se oferă o rată anuală a dobânzii de r%, rata lunară reală este \(\frac{r}{{12}}\)%, rata bilunară este \(\frac{r}{6}\)%, trimestrial este \(\frac{r}{4}\)%, trimestrial este \(\frac{r}{3}\)% și semestrul este \(\frac{r}{2}\)%.

Exemplul practic 2

Să presupunem că investiți 10.000 într-o bancă și vă oferă următoarele rate anuale de dobândă:

Depozite la termen	Rata anuala	perioade într-un an	rata reală	Bani acumulați în \(k\) luni
două luni	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\left({1 + 0,00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
trei luni	1.87%	4	\(\frac{{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\left({1 + 0,00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
șase luni	1.56%	2	\(\frac{{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\left({1 + 0,0078} \right)^{\frac{k}{6}}}\)

Numărul \(e\), interesul constant și continuu al lui Euler.

Acum să presupunem că avem un capital inițial \(C\) și îl investim la o rată fixă ​​\(r > 0\), și împărțim anul în \(n\) perioade; capitalul acumulat într-un an este egal cu:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

Pentru a analiza cum se comportă capitalul acumulat atunci când \(n\), crește, vom rescrie capitalul acumulat, într-un an:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

făcând \(m = \frac{n}{r}\), obținem:

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

Pe măsură ce \(n\) crește, la fel crește și \(m = \frac{n}{r}.\)

Pe măsură ce \(m = \frac{n}{r},\) crește, expresia \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) se apropie de ceea ce se numește constantă sau număr Euler:

\(e \aproximativ 2,718281828 \ldots .\)

Constanta lui Euler nu are o expresie zecimală finită sau periodică.

Avem următoarele aproximări

\(C{\left( {{{\left({1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \aprox C{e^r},\) \(C{\left({1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \aprox C{e^{rs}}.\)

La expresia:

\(A = \;C{e^r},\)

O putem interpreta în două moduri:

1.- Ca suma maximă pe care o putem acumula într-un an când investim capital \(C,\;\) la o rată anuală \(r.\)

2.- Ca suma pe care am acumula-o, într-un an, dacă capitalul nostru ar fi reinvestit continuu la o rată anuală \(r.\)

\(T\left(s \right) = \;C{e^{rs}},\)

este suma acumulată dacă \(s\) ani sunt investiți cu dobândă continuă.

Exemplul concret 3

Acum vom reveni la o parte a exemplului concret 2, unde rata anuală este de 0,55% în rate bilunare. Calculați capitalul care se acumulează dacă capitalul inițial este de 10.000 și reinvestește jumătate de an, doi ani, 28 de luni.

\(10{\left({1,00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

după cum arată tabelul de mai jos, valoarea lui \(m = \frac{n}{r},\) nu este „mică”, iar tabelul de mai sus indică faptul că \({\left( {1 + \frac{1}{) m}} \right)^m}\) este aproape de constanta lui Euler.

Timp	Numărul de perioade (\(k\))	Capitalul acumulat, în mii, reinvestit la fiecare două luni
Jumatate de an	3	\(10{\left({1,00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Doi ani	12	\(10{\left({1,00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 de luni	19	\(10{\left({1,00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

Timp	Perioada anilor (\(s\))	Capitalul acumulat, în mii, se investește cu dobândă continuă
Jumatate de an	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0,0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Doi ani	\(s = 2\)	\(10{\left({1,00091667} \right)^{0,0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 de luni	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left({1,00091667} \right)^{\frac{{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Exemplul 2 Amortizarea

Exemplul practic 1

Un computer se depreciază cu 30% în fiecare an, dacă un computer a costat 20.000 USD, determinați prețul computerului pentru \(t = 1,12,\;14,\;38\) luni.

În acest caz, cineva are:

\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left({1 – 0,30} \right)^t}\)

Cu \(t\) în ani, înlocuind \(t\) în tabelul următor dă

timp în luni	timp în ani	calculele	Valoare numerică
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859